Производна на sin(ln(x²))

Сега ще се опитаме да намерим производната на синус от натурален логаритъм от х^2. Дадена е функция, която е съставна. Тоест съставна е на друга функция. Един начин, по който да мислиш за това, е, ако избереш f(x) да бъде равно на синус от х, g(x) да е натурален логаритъм от х, а h(x) да бъде равно на х^2. Тогава това нещо ето тук е точно същото нещо, като да се опитваш да намериш производната спрямо х на f(g(h(x))) (f от g, от h от х). Сега искам да помисля как бих решил задачата в главата си, без да се налага да записвам пълното означение за верижното правило. Начинът, по който бих разсъждавал по задачата, ако правех това наум, е да търся производната на тази външна функция от f спрямо на съставните функции директно под нея. Тоест производната на синус от х е косинус от х. Но вместо да бъде равна на косинус от х, ще бъде равна на косинус от това, което се намира тук вътре. Следователно ще бъде косинус от натурален логаритъм – нека да го запиша в същия цвят – косинус от натурален логаритъм от х^2. Ще направя х в същия жълт цвят. от x^2. Наистина може да разглеждаш това, т.е. тази част, която току-що прочетох ето тук, като f'. Това е f' от g, от h от х. За да може да следиш решението. Току-що намерих производната на външната функция спрямо това, което се съдържа в нея. Сега следва да намеря производната на вътрешната функция спрямо х. Сега обаче разполагаме с друга съставна функция. Тоест ще умножим това или ще приложим отново верижното правило. Ще намерим производната на натурален логаритъм спрямо х^2. Производната на натурален логаритъм от х е равна на 1/х. Сега обаче няма да е равна на 1/х, а на 1/х^2. 1/х^2. И така, за да изясним, тази част ето тук е g', но не от х. Ако беше g'(х), това щеше да бъде равно на 1/х. Но вместо х, имаме функцията h(х). Дадено е х^2. Тоест това е функцията g' от х^2. И накрая, може да намерим производната на вътрешната функция. Нека да го запиша. Може да запишем това като g' от h от х. И накрая, просто следва да намерим производната на най-вътрешната функция спрямо х. Тоест производната на 2х спрямо... или производната на х^2 спрямо х, е равна на 2х. Така че умножаваме по h' от х. Нека да изясня всичко. Какво имаме ето тук, което е записано в лилаво? Това, това и това са едно и също нещо. Едното е представено конкретно, а другото абстрактно. Това, това и това са едно и също нещо, представени конкретно и абстрактно. И накрая, това, това и това са едно и също нещо. представено конкретно и абстрактно. Тогава сме готови. Всичко, което следва да направим, е да опростим получения израз. Може просто променим реда, по който умножаваме. Имаме 2х върху х^2, така че мога да извърша съкращение. Това х върху х... т.е. 2х върху х на квадрат, е същото нещо като 2 върху х. И го умножаваме по целия този израз. И така, остана 2 върху х. Ето това изчезва. 2/х по косинус от натурален логаритъм от х на квадрат. Изглеждаше много обезсърчително да търсим производната. Но просто си казахме : Да намерим производната на синус от нещо спрямо това нещо. Е, това е косинус от нещо. След това навлизаме едно ниво навътре. Тоест: на какво е равна производната на ето това нещо? Е, в това нещо имаме друга съставка. Производната на натурален логаритъм от х... или натурален логаритъм от нещо спрямо друго нещо... ще бъде равна на 1 върху нещото. Получихме 1 върху х на квадрат тук, защото този квадрат се съкращава. И накрая, производната на тази най-вътрешна функция. Процесът прилича на обелване на лук. Производната на тази вътрешна функция спрямо х, което беше равно просто на 2х. Което получихме ето тук. Това беше 1/х^2. Това беше 2х преди да извършим съкращението. Надявам се, че това ще помогне, за да успееш да си изясниш нещата.