Основно съдържание

11. клас (България) Профилирана подготовка Модул 2 Елементи на математическия анализ

Курс: 11. клас (България) Профилирана подготовка Модул 2 Елементи на математическия анализ > Раздел 10

Урок 1: Производна на съставна функция

Правило за диференциране на сложна функция (преговор)

Кратък преговор върху правилото за диференциране на сложна функция.

Въведение

Дадени са две функции f, left parenthesis, x, right parenthesis и g, left parenthesis, x, right parenthesis, например, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared и g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, и ние знаем как можем да намерим производната на сбора на тези две функции:


Правило:	start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals, f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
Пример:	start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, left parenthesis, x, squared, plus, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals, 2, x, plus, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis

Знаем също как да намерим производната на произведението на тези две функции:


Привило:	start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, x, right parenthesis, f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
Пример:	start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, left parenthesis, x, squared, dot, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals, x, squared, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, dot, 2, x

Съгласно правилото за диференциране на сложна функция можем да намерим производната на функцията, която е съставена от двете функции, тоест на функцията f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis:


Привило:	start color #0c7f99, start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, left parenthesis, f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals, f, prime, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #0c7f99
Пример:	start color #0c7f99, start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, squared, equals, 2, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #0c7f99

Обяснение с използване на математически трик

Предупреждение: Следващият раздел може да предизвика главоболие или виене на свят при читателите, които са особено чувствителни към грубо използване на математическото записване.

Обикновено изразяваме функциите и производните чрез променливата x.

start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, left parenthesis, x, squared, right parenthesis, equals, 2, x

Но, разбира се, ние можем да използваме и други букви.

start fraction, d, divided by, d, start color #11accd, a, end color #11accd, end fraction, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, squared, right parenthesis, equals, 2, start color #11accd, a, end color #11accd

А какво ще стане, ако направим нещо шантаво, като заменим символа x с функция, вместо с друга буква.

start fraction, d, divided by, d, left parenthesis, start color #11accd, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, right parenthesis, end fraction, left parenthesis, start color #11accd, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, right parenthesis, squared, equals, 2, start color #11accd, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd

Не е ясно какво означава start fraction, d, divided by, d, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, end fraction, но нека просто да го оставим в този вид за момент. Можем да си представим, че го умножаваме по start fraction, d, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, divided by, d, x, end fraction, за да "съкратим" члена d, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis:

start fraction, d, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, squared, divided by, start cancel, d, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, end cancel, end fraction, dot, start fraction, start cancel, d, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, end cancel, divided by, d, x, end fraction, equals, start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, squared

Това е неправилно от математическа гледна точка, тъй като членовете "d, x" и "d, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis" не са числа или функции, които можем да съкращаваме. Има други начини да направим това, но те изискват по-задълбочени математически познания. Засега можеш да си представиш това като удобен математически трик. Това ни е полезно, защото при разлагането на start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, squared по този начин, ние виждаме какво представлява всеки отделен член, дори да не знаем как да намерим производната на left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, squared:

$\begin{aligned} \large \dfrac{d}{dx} (\sin(x))^2 = \underbrace{\dfrac{d(\sin(x))^2}{d(\sin(x))}}_{ \substack{\blueE{ \text{представи си, че заместваме $x$} \\ \text{със $\sin(x)$ в $\dfrac{d(x^2)}{dx}$} }}} \cdot \underbrace{\dfrac{d(\sin(x))}{dx}}_{ \substack{\greenE{ \text{познатата производна} \\ \text{на $\sin(x)$} }}} = \blueE{2\sin(x)} \cdot \greenE{\cos(x)} \end{aligned}$

Този трик изглежда много по-разбираем, когато запишем функциите обобщено, а не за конкретния пример с x, squared и sine, left parenthesis, x, right parenthesis:

start box, start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, close bracket, equals, start fraction, d, f, divided by, d, g, end fraction, dot, start fraction, d, g, divided by, d, x, end fraction, end box

Пример 1:

\begin{aligned} f(x) &= \sin(x^2) \quad \quad \small{\gray{\text{функция, която ще диференцираме}}} \\ & \\ u(x) &= x^2 \quad \quad \small{\gray{\text{дефинираме $u(x)$ като вътрешната функция}}} \\ & \\ f(x) &= \sin(u) \quad \quad \small{\gray{\text{изразяваме $f(x)$ чрез $u(x)$}}} \\ & \\ \frac{df}{dx} &= \frac{df}{du} \cdot \frac {du}{dx} \quad \quad \small{\gray{\text{правило за диференциране на сложна функция}}} \\ & \\ \frac{df}{dx} &= \frac{d}{du}\sin(u) \cdot\frac {d}{dx}(x^2) \quad \quad \small{\gray{\text{заместваме в $f(u)$ и $u(x)$}}} \\ & \\ \frac{df}{dx} &= \cos(u) \cdot 2x \quad \quad \small{\gray{\text{намираме производните}}} \\ & \\ \frac{df}{dx} &= \cos(x^2)(2x) \quad \quad \small{\gray{\text{заместваме с $u$, изразено чрез $x$.}}} \\ & \\ \end{aligned}

Пример 2:

Сега можем да направим нещо много интересно като намиране на производната на функцията от абсолютна стойност vertical bar, x, vertical bar, която може да се дефинира като square root of, x, squared, end square root. Например vertical bar, minus, 5, vertical bar, equals, square root of, left parenthesis, minus, 5, right parenthesis, squared, end square root, equals, square root of, 25, end square root, equals, 5

\begin{aligned} f(x) &= \left|x\right| \quad \quad \small{\gray{\text{функцията, която ще диференцираме}}} \\ & \\ f(x) &= \sqrt{x^2} \quad \quad \small{\gray{\text{еквивалентна функция}}} \\ & \\ u(x) &= x^2 \quad \quad \small{\gray{\text{дефинираме $u(x)$ като вътрешна функция}}} \\ & \\ f(x) &= [u(x)]^\frac{1}{2} \quad \quad \small{\gray{\text{изразяваме $f(x)$чрез $u(x)$}}} \\ & \\ \frac{df}{dx} &= \frac{df}{du} \cdot \frac {du}{dx} \quad \quad \small{\gray{\text{правило за диференциране на сложна функция}}} \\ & \\ \frac{df}{dx} &= \frac{d}{du}u^\frac{1}{2} \cdot\frac {d}{dx}(x^2) \quad \quad \small{\gray{\text{заместваме във $f(u)$ и $u(x)$}}} \\ & \\ \frac{df}{dx} &= \frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}} \cdot 2x \quad \quad \small{\gray{\text{намираме производните по правилото за диференциране на степени}}} \\ & \\ \frac{df}{dx} &= \frac{1}{2}\left(x^2\right)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2x \quad \quad \small{\gray{\text{изразяваме $u(x)$ отново чрез $x$}}} \\ & \\ \frac{df}{dx} &= \frac{x}{\sqrt{x^2}} \quad \quad \small{\gray{\text{опростяваме}}} \\ & \\ \frac{df}{dx} &= \frac{x}{\left|x\right|} \quad \quad \small{\gray{\text{изразяваме $\sqrt{x^2}$ като абсолютна стойност.}}} \\ & \\ \end{aligned}

Сложна функция от произволен брой функции

Правилото за диференциране на сложна функция може да се използва при съставяне на функция от повече от две функции. Нека са дадени четири различни функции A, left parenthesis, x, right parenthesis, B, left parenthesis, x, right parenthesis, C, left parenthesis, x, right parenthesis и D, left parenthesis, x, right parenthesis и ние да дефинираме функцията f, която е съставена от тях:

f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, A, left parenthesis, B, left parenthesis, C, left parenthesis, D, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, right parenthesis, right parenthesis

Като използваме начина за записване на производните start fraction, d, f, divided by, d, x, end fraction, можем да приложим правилото за диференциране на сложна функция по следния начин:

start fraction, d, f, divided by, d, x, end fraction, equals, start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, A, left parenthesis, B, left parenthesis, C, left parenthesis, D, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, right parenthesis, equals, start fraction, d, A, divided by, d, B, end fraction, dot, start fraction, d, B, divided by, d, C, end fraction, dot, start fraction, d, C, divided by, d, D, end fraction, dot, start fraction, d, D, divided by, d, x, end fraction

Ако използваме записването на производните с f, prime, получаваме следното:

f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, A, prime, left parenthesis, B, left parenthesis, C, left parenthesis, D, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, right parenthesis, right parenthesis, dot, B, prime, left parenthesis, C, left parenthesis, D, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, right parenthesis, dot, C, prime, left parenthesis, D, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, dot, D, prime, left parenthesis, x, right parenthesis

Пример 4:

Дадена е функцията f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, sine, left parenthesis, e, start superscript, x, squared, plus, x, end superscript, right parenthesis.

Функцията f е съставена от функциите

\begin{aligned} A(x) &= \blueE{\sin(x)}\\ B(x) &= \greenE{e^x} \\ C(x) &= \redE{x^2 + x} \end{aligned}

Производните на тези функции са

\begin{aligned} A'(x) &= \blueE{\cos(x)}\\ B'(x) &= \greenE{e^x} \\ C'(x) &= \redE{2x + 1} \end{aligned}

Съгласно правилото за диференциране на сложна функция, производната на сложната функция е

\begin{aligned} f'(x) &= A'(B(C(x))) \cdot B'(C(x)) \cdot C'(x) \\ & \\ &= \boxed{\large \blueD{\cos}(e^{x^2 + x}) \cdot \greenD{e}^{x^2 + x} \cdot \redD{(2x + 1)}} \end{aligned}

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.