Решен пример: Намиране на производната на функцията √(3x²-x) с помощта на правилото за диференциране на сложна функция

В това видео искам да започна с абстрактното... Всъщност нека го нарека верижното правило за диференциране и после ще се научим да го прилагаме в конкретни случаи. Да започнем с някаква функция, някакъв израз, който може да се изрази като сложна функция от две функции. Може да се изрази като f от g от х. Това е функция, която може да се изрази като сложна функция, израз, който може да се изрази като съставен от две функции. Нека взема същия цвят. Искам цветовете да са точни. Целта ми е да сметна производната на това нещо, производната спрямо х. Верижното правило ни казва, че това ще бъде равно на производната на външната функция спрямо вътрешната функция... Можем да запишем това не като f прим от х, а като f прим от g(x), което е вътрешната функция. f прим от g(x) по производната на вътрешната функция спрямо х. Това може да изглежда много абстрактно и математическо. Как всъщност да го приложим? Нека пробваме с реален пример. Да кажем, че искаме да сметнем производната на корен квадратен от 3х^2 – х. Как можем да дефинираме f и g, за да може това наистина да е сложна функция от f(x) и g(x). Можем да дефинираме f(x). Ако дефинираме f(x) равно на корен квадратен от х, а g(x) да е равно на 3х^2 – х, тогава какво ще е f от g(x)? f от g(x) ще бъде... Ще се опитам да запазя точните цветове, надявам се, че ще ти помогне с разбирането. f от g(x) е равно на... Навсякъде където видим х, ще заместваме с g(x)... Корен квадратен от g(x), който е равен на корен квадратен от... Дефинирахме g(x) тук: 3х^2 – х. Следователно това нещо тук ще е точно f от g(x), ако дефинираме f(x) по този начин, а g(x) по този. Дотук добре. Нека приложим верижното правило. На какво ще е равно f прим от g(x), производната на f спрямо g? Колко е f прим от х? f прим от х е равно на... Това е същото нещо като х на степен 1/2, затова можем да приложим правилото за производна от степен. Ще получим 1/2 по х на степен... Тогава изваждаме 1 от степента. 1/2 минус 1 е –1/2. Следователно колко е f прим от g(x)? Където видим в производната х, можем да го заменим с g(x). Ще бъде 1/2 по... Вместо х на степен 1/2, можем да запишем g(х) на степен 1/2. Това просто ще бъде равно на... Нека го запиша тук. Ще бъде равно на 1/2 по всичко това на степен –1/2. 3х^2 – х, което е точно това, което ни трябваше, за да решим това тук. f прим от g(x) е равно на това. Тази част тук ще... Нека го оградя в зелено. Опитваме се да решим тук f прим от g(x), тъкмо разбрахме, че то е точно това нещо тук. Производната на f от външната функция спрямо вътрешната функция. Нека го запиша. Това е равно на 1/2 по g(x) на степен –1/2 по 3х^2 – х. Това е точно това, според това как сме дефинирали, f(х) и как сме дефинирали g(x). Като цяло, ако разглеждаме само това, производната на външното нещо, ще смятаме нещо на степен 1/2. Следователно производната на цялото нещо спрямо нашето нещо ще бъде 1/2 по това нещо на степен –1/2. По същество това казваме. Но сега смятаме производната на нашето нещо спрямо х. Това е по-лесно. g прим от х... Просто използваме правилото за степента за всеки от тези изрази... Равно е на 6х на първа или просто 6х минус 1. Тази част тук ще бъде просто 6х – 1. За да е ясно, това нещо тук е това нещо тук и го умножаваме. И сме готови. Приложихме правилото за намиране на производна от степен. Да направим обобщение. Това е производната на външната функция спрямо вътрешната. Вместо да имаме 1/2х на степен –1/2, имаме 1/2g(x) на степен –1/2 по производната на вътрешната функция спрямо х, т.е. по производната на g спрямо х, което е това тук.