Доказателство на правилото за диференциране на сложна функция (верижно правило)

Надявам се в това видео да докажем известното и полезно, донякъде елегантно и понякога ужасно верижно правило. Ако следиш видеата върху "диференцируемостта води до непрекъснатост" и какво става с една непрекъсната функция, когато изменението на независимата ни променлива х клони към 0, как изменението на функцията ни клони към 0, тогава това доказателство ще е изненадващо лесно. Така че нека просто го направим. Това е едно от много доказателства на верижното правило. Верижното правило ни казва, че ако у е функция от u, което е функция от х, и искаме да намерим производната на това, искаме да диференцираме това спрямо х, можем да запишем това като производната на у спрямо х, което ще е равно на производната на у спрямо u по производната на u спрямо х. Това ни казва верижното правило. Как всъщност да го докажем? Трябва просто да си припомним, че производната на у спрямо х е равна на границата при Δх, клонящо към 0, на изменението на у върху изменението на х. Сега можем малко да преобразуваме, за да въведем изменението на u. Хайде да го направим. Това ще бъде същото като границата на делта х, клонящо към 0. Ще запиша тази част по друг начин. Ще разделя и ще умножа по изменението на u. Следователно мога да запиша това като Δу върху Δu по Δu върху Δх. Изменението на у върху изменението на u по изменението на u върху изменението на х. Виждаш, че тези ще бъдат просто числа. Това ще се съкрати с това и ще останем с изменението на у върху изменението на х, което е същото като това, което имахме тук. Все още нищо разтърсващо. На какво ще е равно това? Границата на произведение е същото нещо като произведението от границите. Следователно това е същото нещо като границата при Δх, клонящо към 0... ще го оцветя... на това, т.е. на Δу върху Δu, по... Ще сложа скоби около това. По границата при Δх, клонящо към 0, на това. Нека сложа скоби около това. Δu върху Δх. Как се опростява това? Това тук е дефиницията... За да бъде това вярно, трябва да приемем, че u и у са диференцируеми при х. За да бъде това вярно, приемаме, че у и u са диференцируеми при х. Запомни, че ако те са диференцируеми при х, това означава, че те са непрекъснати при х. Но ако u е диференцируема при х, тогава тази граница съществува и това е производната на... Това е u прим от х, т.е. du/dx. Това тук можем да запишем като du/dx. Мисля, че виждаш накъде отиваме. Сега това тук. Само като го гледаме записано така, не можем веднага да кажем, че това е dy/du, защото това е границата при делта х, клонящо към 0, не границата при делта u, клонящо към 0. Просто трябва да си припомним резултата от миналото видео, ако ги гледаш последователно, който беше, че ако имаме функцията u, която е непрекъсната в дадена точка, когато Δх клони към 0, Δu ще клони към 0. Можем да запишем това тук... Вместо делта х, клонящо към 0, това ще има същия ефект, защото u е диференцируема при х, което означава, че тя е непрекъсната при х. Това означава, че Δu ще клони към 0. Когато изменението на х става по-малко и по-малко, и по-малко, изменението на u ще става по-малко и по-малко, и по-малко. Можем да запишем това като изменението на u, клонящо към 0. Когато го запишем така, тогава това е просто dy/du. Това е просто dy, производната на у спрямо х. Ако приемем, че у и u са диференцируеми при х... Или ако кажем, че у е функция от u, която е функция от х, показахме със сравнително малко сметки и използвайки малко предположения за диференцируемостта и непрекъснатостта, че наистина производната на у спрямо х е равна на производната на у спрямо u по производната на u спрямо х. Надявам се, че това е убедително.