Определяне на граници на тригонометрични функции чрез използване на основното тригонометрично тъждество

Да опитаме да намерим границата при тита, клонящо към 0, на 1 минус косинус тита върху 2 по синус квадрат от тита. Както винаги, остави видеото на пауза и се опитай да разсъждаваш самостоятелно. Е, първото ни предположение е, че това може да е същото като границата на едно минус косинус от тита при х, при нас х е тита, клонящо към нула... при тита, клонящо към нула, делено на границата при тита, клонящо към нула на 2 по синус квадрат от тита. И двата израза могат да се използват за определяне на функции, и ще имат непрекъснати графики. По-точно, ще са непрекъснати при тита равно на 0, затова границата ще е равна на тяхната стойност при тита равно на нула. И така, това ще е равно на 1 минус косинус от 0 върху 2 по квадрата на синус от нула. Знаем, че косинус от 0 е 1 и 1 минус 1 е нула, а синус от 0 е 0, и на квадрат пак е нула, умножено по 2 отново остава нула. Получихме нула върху нула. Пак получихме неопределена форма. И отново, тази неопределена форма като 0 / 0 не означава да спрем дотук, не означава, че границата не съществува. Означава само, че може би има други начини, които да използваме. Ако имахме ненулево число делено на 0, тогава границата нямаше да съществува и отговорът ни щеше да е, че няма граница. Но нека помислим какво да направим, за да видоизменим този израз. Затова ще го запиша, като използвам други цветове. Нека обозначим този израз с f(x). Значи, f(x) e равно на 1 минус косинус от тита върху 2 по синус квадрат от тита. Сега да опитаме да го преобразуваме, така че поне границата при тита, клонящо към 0, да бъде различна от 0 / 0. Тук имаме някои тригонометрични функции, значи може да използваме тригонометрични тъждества, за да го опростим. Веднага се сещам за синус квадрат от тита и знам за основното тригонометрично тъждество: то се извежда директно от единичната окръжност и определението за синус и косинус. Знаем, че синус на квадрат от тита плюс косинус на квадрат от тита е равно на 1. Това означава, че синус на квадрат от тита е 1 минус косинус на квадрат от тита. Тук замествам с 1 – косинус на квадрат от тита. Можем да преобразуваме този израз. Той става 1 минус косинус от тита върху 2 по 1 – косинус на квадрат от тита. Виж, тук има 1 минус косинус тита, а тук е 1 минус косинус на квадрат от тита. Все още не е съвсем очевидно как да го опростим, докато не представим това като разлика от квадрати. Този израз има формата на А на квадрат минус В на квадрат и знаем, че това се разлага до А + В по А – В. Мога да преобразувам това. Равно е на 1 минус косинус тита върху 2 по... мога да го напиша като 1 + косинус тита по 1 – косинус тита. Тук долу е (1 + косинус тита) по (1 – косинус тита). Това вече е интересно. Имам (1 – косинус тита) в числителя, но също го имам и в знаменателя. Сега може да се изкушим направо да зачеркнем този множител и просто да получим f(x) равно на 1 върху 2 по това, 2 плюс 2 по косинус тита. Може да си помислим, не е ли това същото? И щяхме да сме почти прави, защото ето това f(x) е определено, то има определена стойност, когато тита е равно на 0, но предишното не е определено за тита равно на 0. Когато тита е равно на 0, в знаменателя му ще има 0. Тогава какво да направим, за да направим това f(x) да е равно на това? Трябва да уточним, че тита не може да е 0. Но сега нека се върнем на границата. При нея всъщност търсим границата при тита, клонящо към 0 на f(x). Видяхме, че не става с директно заместване, защото при по-внимателен поглед ще сме в ситуация да поставим нула тук, а имаме условието, че тита не може да е равен на нула, защото f(x) не е определена за нула. Този израз пък е определен при нула, но това ни говори, че не бива да изчисляваме тази функция за нула. Но знаем, че има друга функция, което е почти същата като f(x), освен, че за нула тя е непрекъсната. Затова можем да кажем, че g(x) е равна на 1 върху 2 + 2 по косинус от тита. Знаем, че тази граница ще е равна на границата на g(x) при тита, клонящо към 0. Използваме, че тези две функции са идентични навсякъде, освен при тита равно на 0, където f(x) не е определена, а g(x) е определена. Но границите има при тита, клонящо към 0, ще бъдат едни и същи. Видяхме как става това в предишните клипове. Знам какво може би си мислиш сега: „Сал, това тук изглежда излишно, защо просто не пресметна този израз? Можеше да зачеркнеш тези множители, да заместиш тита с 0 и да получиш търсения отговор!“ Но винаги трябва да сме точни, в математиката е много важно да сме точни в твърденията си. Ако бяхме зачеркнали тези двете, и изведнъж нашият израз беше станал определен за нула, щяхме да имаме съвсем друг израз или съвсем друга функция. За да сме точни, трябва да знаем, че това е функцията, за която търсим границата; като сложим това ограничение, тя ще има същото дефиниционно множество. За наш късмет, тук е вярно, че ако имаме друга функция, която е непрекъсната в тази точка, която няма тази точка на прекъсване, границите им ще са еквивалентни. А границата на g(x), когато тита клони към 0, тъй като тази функция е непрекъсната в нулата, може да се намери с директно заместване. Тя ще е равна на g(0), което е равно на 1 върху 2 + 2 по косинус от нула. косинус от 0 е 1, затова тя е равна на 1 върху 2 + 2, което е равно на... ...обявяваме отговора... което е равно на 1/4. И сме готови.