Основно съдържание
11. клас (България) Профилирана подготовка Модул 2 Елементи на математическия анализ
Курс: 11. клас (България) Профилирана подготовка Модул 2 Елементи на математическия анализ > Раздел 6
Урок 5: Намиране граница на частично определена функцияРешен пример: точка, в която функцията е непрекъсната
Сал намира границата на една частично определена функция в точката между два нейни клона. В този случай двете едностранни граници са равни, затова границата съществува.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.
Видео транскрипция
Функцията g(x)
е дефинирана като log 3x, когато х е
в интервала (0;3) и като (4 – х) * log 9, когато х е по-голямо
или равно на 3. Като имаме
това определение за g(x) искаме да намерим
границата на g(x) за х, клонящо към 3: тази стойност е точно на прехода между двата случая,
дадени в определението. Имаме първия случай,
когато х е между 0 и 3: когато е по-голямо от 0
и по-малко от 3, а когато стане равно на 3
отиваме в другия случай. За да намерим границата,
трябва да потърсим лявата граница на функцията, при която попадаме
в първия случай, защото там х
е по-малко от 3, а също и да намерим
дясната граница, която ще ни постави
във втория случай. Ако и двете
едностранни граници съществуват, и освен това ако са равни, то това ще е търсената граница. Ще започна
с лявата граница. Търсим границата на g(x),
когато х доближава 3 откъм стойностите,
по-малки от 3. Това е същото, като да кажем, че това е границата
за х, клонящо към 3 от отрицателната посока. Когато х е по-малко от 3,
какъвто е случаят тук, ние се доближаваме до 3 отляво и се намираме в първия случай
на дефиницията. Значи ще извършим това действие. Така ще намерим стойност
на функцията за х<3. Имаме логаритъм
от 3х. Тъй като функцията
е дефинирана и непрекъсната
за нужния ни интервал: дефиницията ѝ е непрекъсната
за всички х, по-големи от 0; то просто можем да заместим
х с 3, за да видим границата. Това е равно на log от 3 по 3, което е логаритъм от 9. Тъй като не е уточнена
основата на логаритъма, то се предполага,
че той е десетичен. Значи основата му е 10. Това е добре да се знае, защото понякога се пропуска. И така, да помислим
и за другия случай. Да разгледаме ситуацията, при която се доближаваме до 3
отдясно, откъм по-големите
от 3 числа. Тук вече ще сме
във втория случай. Дясната граница
ще е равна на границата при х,
клонящо към 3 от положителната посока
или отдясно на g(x) в този му случай за х>=3: значи на 4 – х по логаритъм от 9. Това изглежда като
логаритмичен израз на пръв поглед,
докато осъзнаеш, че log9 е просто константа,
десетичен логаритъм от 9. Тя ще е някакво число,
доста близко до 1. Този израз всъщност
може да се начертае като права. В случая за х>=3,
g(x) e просто една права линия,
която изглежда сложно. Това всъщност е определено
за всички реални числа, а също е и непрекъснато
за всяка стойност на х. За да намерим тази граница,
нека помислим към какво се доближава този израз, когато х клони към 3
от положителната посока. Можем просто да заместим
директно с х=3. Това ще е равно
на 4 – 3, или 1, по логаритъм от 9. Това е равно на десетичния
логаритъм от 9. Получихме, че лявата
и дясната граници са равни. И двете са равни на log 9,
значи отговорът е логаритъм от 9. И сме готови.