Граници на частично определени функции

Нека да помислим за малко за граници на частично зададени функции, които са дефинирани алгебрично, както f(x) ето тук. Спри видеото и виж дали може да намериш какви ще са тези различни граници, като някои от тях са едностранни, а други са стандартни или двустранни граници. Добре, нека да започнем с първата, т.е. границата, когато x клони към 4 от стойности, по-големи от 4. Това е, което този плюс ни казва. И така, когато x > 4, то f(x) = sqrt(x) (квадратен корен). Следователно, когато се приближаваме към 4 отдясно, наистина мислим за тази част от функцията. И това ще бъде равно на sqrt(4), въпреки че в точката x = 4 f(x) е равна на ето това, ние се приближаваме със стойности, по-големи от 4. Приближаваме се отдясно, така че ще използваме тази част от дефиницията на функцията. Следователно това ще бъде равно на 2. А какво да кажем за границата на f(x), когато се приближаваме към 4 отляво? Тогава бихме използвали тази част от дефиницията на функцията. И това ще бъде равно на 4 + 2 върху 4 – 1, което е равно на 6/3, което е равно на 2. Следователно, ако искаме да кажем каква е границата на f(x), когато x клони към 4, това всъщност е добър случай тук, защото и от лявата и дясна страна, когато x клони към 4, функцията клони към една и съща стойност. А знаем че, за да има двустранната граница, следва да клони към едно и също нещо отдясно и отляво. Тогава това ще бъде равно на 2. Сега, каква е границата, когато x клони 2 за f(x)? Е, когато x клони към 2, ще се намираме изцяло в този случай ето тук. Сега, интересни неща се случват за x = 1 ето тук и знаменателят клони към 0, но за x = 2 тази част от кривата ще бъде непрекъсната. Следователно може просто да заместим стойността, което ще бъде 2 + 2 върху 2 – 1, което 4/1, което е равно на 4. Нека да решим друг пример. Имаме друга частично зададена функция и нека да спрем видеото и да намерим тези неща. Добре, нека да го решим заедно. Каква е границата, когато x клони към –1 от дясната страна? Ако се приближаваме отдясно, когато x е по-голямо или равно на –1, то ние се намираме в тази част от нашата частично зададена функция. Следователно бихме казали, че това ще клони, или това ще бъде 2 на степен –1, което е равно на 1/2. Какво става обаче, ако се приближаваме отляво? Ако се приближаваме отляво, тогава попадаме в този случай тук, т.е. ние сме отляво на x = –1 и тогава това ще е равно на синуса, и в този случай за нашата частично определена функция имаме –1 + 1, което е sin(0), което е равно на 0. Сега, каква е двустранната граница, когато x клони към –1 за g(x)? Приближаваме се към две различни стойности, когато клони отдясно и когато клони отляво. И ако нашите едностранни граници не клонят към една и съща стойност, тогава тази граница не съществува. "Не съществува." А каква е границата за g(x), когато x клони към 0 отдясно? Ако става дума за приближаване към 0 отдясно, то тогава се намираме в този случай ето тук. Нулата определено е в този интервал. И в този интервал, ето това тук ще бъде непрекъснато, така че може просто да заместим x = 0 тук, така че ще получим 2 на нулева степен, което действително е равно на 1. И сме готови.