Диференциране на произведение от функции

Да видим дали можем да намерим производната по отношение на х с e^х*cosx. Както винаги, спри видеото и опитай самостоятелно, преди да го решим заедно. Когато погледнеш това, може да си кажеш, че знаеш как да намериш производната с е^х и това всъщност е просто е^х. Нека запиша това. Знаем няколко неща. Знаем производната по отношение на х на е^х... е^х е e^х. Знаем как да намерим производната на cosx. Производната по отношение на х на cosx е равна на -sinx. Но как да намерим производната на произведението им? Както можеш да си представиш, това може да включва правилото за произведението. Нека запиша правилото за произведението по принцип. Ако вземем производната по отношение на х на първия израз по отношение на х, можем да наречем това u(х) по друг израз, който включва х. Тоест (u*v)(х) Това ще е равно на... и го кодирам в различни цветове, за да можем да следим нещата. Това ще е равно на производната на първия израз... Мога да запиша това като u'(х), по втория израз, а не производната му, просто самия втори израз. Тоест по v(х) и после имаме плюс първия израз, не производната му, просто самия първи израз. u(х) по производната на втория израз. По производната на втория израз. Начинът, по който да запомниш това, е че тук имаш тези две неща, накрая ще получиш два различни члена. Във всеки от тях ще вземеш производната на единия от изразите, но не и на другия, а после ще вземеш производната на другия, но не и на първия. Производната на u по v е u'*v + u*v'. Когато погледнеш това по този начин, изглежда малко абстрактно и може дори да е малко объркващо, но ето затова тук имаме един конкретен пример и нарочно го кодирах в различни цветове. Можем да кажем, че u(х) е равно на е^х. И v(х) е равно на cosx. Тоест v(х) е равно на cosx. И ако u(х) е равно на e^х, знаем, че производната на това по отношение на х все още е е^х. Това е едно от най-магическите неща в математиката. Едно от нещата, което правят е толкова специално. u'х все още е равно на е^х. И v'х, знаем, че е -sinx. -sinx. Така че на колко ще е равно това? Това ще е равно на производната на първия израз... Производната на е^х, което е просто е^х, по втория израз, без да взимаме производната му, тоест по cosx. Плюс първия израз, не производната му, тоест е^х, по производната на втория израз. По производната на cosx, която е -sin. -sinx. И може да е малко объркващо, понеже е^х е собствената си производна. Това тук можеш да приемеш като производната на e^х, което всъщност е е^х. Това е вълнуващото на този израз или на тази функция. И после това е просто е^х, без да взимаме производната му – те, разбира се, са едно и също. Но както и да е, сега можем просто да го опростим. Това ще е равно на... Можем да го запишем като (е^х)(cosx) минус (е^х)*(sinx). По sinx. Или, ако искаш, можеш да изнесеш e^х. Това е същото нещо като e^х(cosx - sinx). cosx - sinx. Надявам се, че това прави правилото за произведението малко по-осезаемо. След като имаш това в кутийката си с инструменти, има много по-широк клас функции и изрази, които можем да започнем да диференциираме.