If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

11. клас (България) Профилирана подготовка Модул 2 Елементи на математическия анализ

Раздел 9: Урок 2

Диференциране на произведение от функции

Намиране производната на произведение от три функции

Сал диференцира произведение на три различни функции и извежда общ вид на производната на произведение от произволен брой функции. Създадено от Сал Кан.

Видео транскрипция

Искам в настоящия урок да помислим как можем да намерим производната на израз, който може да се разглежда като произведение не на две, а на три функции. И ще го направим, като използваме това, което знаем за правилото за намиране на производна на произведение. Един начин, по който може да мислим за задачата, е, че може да разглеждаме този израз първо като произведение на две функции, т.е. на тази функция тук, а след това на тази функция ето тук. След това отделно да намерим производната. Ако просто разглеждаме стандартното правило за намиране производна на произведение, то гласи, че производната на това нещо ще бъде равна на производната на f от х... нека да го затворя с бяла скоба... умножено по останалата част от функцията. Тоест умножено по g от х... нека да го затворя със скоба... умножено по g от х, по h от х плюс просто f от х по производната на ето този израз. Умножено по производната спрямо х на g от х, по h от х. Производната на g от х, по h от х. Нека да го запиша малко по-хубаво. Но на какво ще бъде равен ето този израз тук? Може отново да приложим правилото за намиране производна на произведение. И така, сега просто се фокусирам върху ето тази част тук. Производната на този израз просто ще бъде равна на g' от х по h от х плюс g от х по производната h, т.е. по h' от х. И така, всичко, което получихме за производната на g от х по h от х, е ето този израз ето тук. Ще го умножим по f от х. Нека да запишем целия този израз ето тук. Първия член ето тук може да го запишем по друг начин. Всичко това ще бъде равно на f' от х, това е ето това там, умножено по g от х, по h от х плюс...А сега ще разкрия скобите и ще умножа по това f от х. Получава се f от х по това плюс f от х по това. f от х по това е равно на f от х по g' от х, т.е. производната на g, g' от х, по h от х. И накрая... Нека да го запиша с ето този бял цвят. И накрая, f от х умножено по това, е равно просто на f от х по g от х, по h' от х. Това е сравнително хубав резултат. Всъщност може да разглеждаме това като правило за намиране производна на произведение, където имаме три функции. Където може да имаме израз, който да се разглежда като произведение на три функции. Сега имаме три члена. За всеки от тези членове търсим производната на една от функциите, а не на другите две. Ето тук търсим производната на функцията f. Tук търсим производната на функцията g. Tук търсим производната на функцията h. Може да си представиш ако имаш произведение на четири функции. Тогава тук щеше да имаш четири члена. За всеки един от тях щеше да търсиш производната на една от функциите. Ако имаше n на брой функции, то тогава щеше да имаш n на брой членове тук. И за всеки от тях щеше да търсиш производната на една от функциите Това е хубав резултат.