Диференцируемост и непрекъснатост

В настоящия урок ще изследваме понятието за диференцируемост в точка. Това е просто нарицателно за въпроса дали функцията има дефинирана производна в тази точка? Нека си припомним определението за производна. Има множество начини да го изпишем. За целите на настоящия урок ще го запиша като производната на функцията в точка c. Това f' е означението на Лагранж. Производната на функцията f в точка c ще бъде равна на границата, когато x клони към c, от f(x) – f(c) върху x – c. Когато за първи път видиш тази формула, а ние сме я срещали и преди, изглежда малко странна, но всичко, за което служи тя, е изчисляване на наклона (ъгловия коефициент), т.е. промяната в стойността на функцията. Може да мислиш за това като за промяна на y, когато y = f(x), и това е промяната на x. Ние просто се опитваме да разберем какъв е този наклон, когато x се доближава все по-близо до c, т.е. когато промяната на x се доближава до 0. За това става дума в други видео уроци. В настоящия урок ще изкажа няколко твърдения, които няма да доказвам строго. Има друг видео урок, който ще навлезе повече в доказателствата. Това е повече да придобиеш усещане. Първото твърдение, което ще направя, е, че ако f е диференцируема в точка x = c, x = c, то f е непрекъсната в точка x = c. Aко знаем, че е диференцируема, ако можем да намерим тази граница, ако може да намерим производната за x = c, то тогава функцията е също непрекъсната в точката x = c. Това не означава със сигурност, че обратното е вярно, и всъщност ще разгледаме случай, където обратното не е вярно, т.е. ако функцията е непрекъсната, то тя задължително е диференцируема. Друг начина да обясним това, което току-що написах, е че ако функцията не е непрекъсната, то със сигурност не е диференцируема. Ако f не е непрекъсната в точката x = c, то f не е диференцируема, не е диференцируема за x = c. Нека да дам няколко примера за прекъсната функция и да помислим дали ще е възможно да намерим тази граница. Ето първия, в който имаш прекъсната функция. Функцията е дефинирана в точка c, равна е на тази стойност, но виждаш, че когато x има по-голяма стойност от c, функцията пада надолу и се измества ето тук. Какво ще се случи, ако се опиташ да намериш тази граница? Спомни си, че всичко това е наклон на права между произволна стойност на x, нека да кажем, че е ето тук, това ще е x, това ще е точката (x; f(x)), тогава това ще е точката (c; f(c)) ето тук. Това е (c; f(c)). Ако намериш лявата граница ето тук, всъщност казваш: добре, нека да намерим този наклон. Нека да се приближа малко повече и нека x да се доближи по-близо, и нека да намерим този наклон. А след това нека x да се доближи дори по-близко от това и да намерим наклона. Във всички тези случаи ще бъде 0. Наклонът е 0. Възможен начин да мислиш за това е, че производната или тази граница, като де приближаваме вляво, изглежда, че клони към 0. Какво става обаче ако вземем x стойности отдясно? Вместо нашите x да бъдат там, какво става ако бяхме взели x ето тук? За тази точка (x; f(x)), наклонът ако вземем f(x) – f(c) върху x – c, това ще бъде наклонът на тази права. Ако изберем x да бъде дори по-близо, да кажем ето тук, тогава това ще бъде наклонът на тази линия. Ако се приближим дори повече, тогава този израз ще бъде наклонът на тази линия. Когато се приближаваме повече и повече до x = c, виждаме, че наклонът действително клони към -∞ (минус безкрайност). И по-важното е, че клони към много различна стойност отдясно. Този израз клони към много различна стойност отдясно в сравнение с тази отляво. В този случай, тази граница тук няма да съществува. Следователно може ясно да заявим, че "Не е диференцируема". Припомням, че това не е доказателство. Просто давам логиката дали ако нещо не е непрекъснато, което е очевидно поне в този случай, че няма да бъде диференцируемо. Нека да разгледаме друг случай. Нека да разгледам случай, където имаме нещо, което се нарича "отстранима точка на прекъсване" или "прекъснатост в точка". Още веднъж, нека x да клони отляво. Това е x, това е точката (x; f(x)). Сега това, което е интересно, е, че този израз е наклонът на линията, която свързва (x; f(x)) и (c; f(c)), което е тази, а не тази точка, припомни си, че имаме отстранима точка на прекъсване ето тук, така че това означава, че този израз пресмята наклонът на тази права. Тогава ако x се приближава дори повече до c, тогава ще пресмятаме наклона на тази линия. Ако x се приближава дори повече до c, тогава ще пресмятаме наклона на тази линия. Когато x клони към c отляво всъщност имаме ситуация, когато този израз ето тук ще клони към -∞ (минус безкрайност). А когато се приближаваме отдясно, със стойности x > c, т.е. ако това е (x, f(x)), така че имаме положителен наклон тук. Тогава като се приближаваме повече, наклонът става все повече положителен и клони към +∞ (плюс безкрайност). Във всеки случай не клони към крайна стойност. От едната страна клони към +∞ (плюс безкрайност), а от другата страна клони към -∞ (минус безкрайност). Границата на този израз няма да съществува. Още веднъж, не правя строго доказателство тук, но се опитай да построиш непрекъсната функция, където ще може да намериш това. Това е много, много трудно. Сигурно ще попиташ какво става в ситуации, когато f дори не е дефинирана в точка c, която със сигурност няма да е непрекъсната, ако f не е дефинирана в точка c. Ако f не е дефинирана в точка c, тогава тази част от израза няма да има смисъл, така че определено няма да е диференцируема. Нека сега попитаме друго нещо. Току-що ти дадох добри аргументи, че когато функцията е прекъсната, то няма да е диференцируема, Можем ли обаче да изкажем и друго твърдение, че ако е непрекъсната, тогава със сигурност ще е диференцируема? Получава се, че със сигурност има много функции, безкраен брой функции, които могат да са непрекъснати в точка c, но не са диференцируеми. Например това може да е функция с абсолютна стойност (модул). Не е задължително да е функция с абсолютна стойност, но може да е y = Ix – cI, т.е. абсолютната стойност на x – c. И защо тази функция не е диференцируема в точка c? Помисли какво се случва. Помисли за този израз. Припомни си, че всичко, което прави този израз, е да изчислява наклона между точката (x, f(x)) и точката (c, f(c)). Така че, ако това ето тук, е (x; f(x)), пресмятането ще се получи, като вземем границата, когато x клони към c отляво, и ще наблюдаваме ето този наклон. И когато се приближаваме, ще наблюдаваме този наклон, който действително ще бъде същият. В този случай ще бъде отрицателен. Когато x клони към c отляво, този израз ще бъде –1. Но когато x клони към c отдясно, този израз ще бъде 1. Наклонът на линията, която свързва тези точки, е 1. Наклонът на линията, която свързва тези точки, е 1. Следователно границата на този израз, или бих казал стойността на този израз, клони към различни стойности, когато x клони към c отляво или отдясно. Отляво клони към –1, или е постоянно –1 и следователно може да се каже, че клони към –1. А отдясно е 1, и клони към 1 през цялото време. А ние знаем, че когато се приближаваме към две различни стойности, отляво или отдясно на границата, то тази граница няма да съществува. Следователно това тук не е диференцируемо. Дори интуитивно мислим за производната като за наклон на допирателната. Можеш да начертаеш безкраен брой допирателни ето тук. Това е един начин да мислиш за това. Може би ще кажеш, че допирателната, е това тук, но тогава защо не мога да направя нещо подобно да е допирателната? Това само пресича в точката (c; 0). След това може да продължиш да правиш неща като това. Защо не може това да е допирателната? И така може да продължаваш и продължаваш. Важните изводи тук са, поне интуитивно, в бъдещ видео-урок ще го докажа, че ако f е диференцируема в точка c, то тя е непрекъсната в точка c, което може да се интерпретира, че ако функцията е прекъсната в точка c, то няма да е диференцируема. Надявам се, че с тези два примера ще развиеш повече интуицията си за това. Но случаят не е, че ако нещо е непрекъснато, то трябва да бъде диференцируемо. Понякога ще бъде диференцируемо, но не задължително ще е диференцируемо. Функцията с абсолютна стойност е пример за непрекъсната функция в точка c, която обаче не е диференцируема в точка c.