If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Курс: 11. клас (България) - стара програма 2019/2020 > Раздел 2

Урок 2: Сходимост на редици - граници и непрекъснатост

Сходящи и разходящи редици

Една редица наричаме "сходяща", ако с увеличаване на индекса на нейните членове те се приближават към определена стойност. Виж логиката какво означава всичко това! Създадено от Сал Кан.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

Имаме една редица. Тя започва от 1 и след това отива до минус 1/2. След това отива до плюс 1/3. След това отива до минус 1/4. След това до плюс 1/5. Като продължава нататък по същия начин. Като можем да я начертаем. Ще начертая вертикалната ос. Ще начертая оста у. И ще начертая графиката на у е равно на а с индекс n. Нека направим това да е оста х, където ще нанеса всички n. Това тук са n. Това тук е плюс 1. Това тук е минус 1. Това ще бъде минус 1/2. Това ще бъде плюс 1/2. Няма да чертая вертикалната и хоризонталната ос с една и съща скала, за да можем да го визуализираме правилно. Но нека кажем, че това е 1, 2, 3, 4, 5, като мога да продължа нататък и нататък. Тук виждаме, че когато n е равно на 1, а с индекс n е равно на 1. Ето това тук. Когато n е равно на 1, а с индекс n е равно на 1. Това е у е равно на а с индекс n. Когато n е равно на 2, имаме а с индекс n е равно на минус 1/2. Когато n е равно на 2, а с индекс n е равно на минус 1/2. Когато n е равно на 3, а с индекс n е равно на 1/3, което е точно ето там. Когато n е равно на 4, а с индекс n е равно на минус 1/4, което е точно ето там. Тогава, когато n е равно на 5, а с индекс n е равно на плюс 1/5, което е може би ето там. И продължаваме нататък и нататък. Така че виждаш точките, които в известен смисъл подскачат наоколо, но изглежда, че отиват все по-близо и по-близо, и по-близо до 0. Което ще ни накара да отговорим на един много естествен въпрос -- какво се случва с а с индекс n, когато n клони към безкрайност? Или друг начин да го кажем, каква е границата -- ще го напиша с друг цвят -- на а с индекс n, когато n клони към безкрайност? Нека помислим, дали можем да определим чрез явно задаване, колко е а с индекс n. Дали можем да зададем редицата явно. Можем да определим тази редица като а с индекс n, където n започва от 1 и отива до безкрайност при а с индекс n равно -- на колко е равно? Ако игнорираме знака за секунда, изглежда, че то е 1 върху n. Но изглежда, че имаме колебание в знаците. Започваме с положително, след това имаме отрицателно, положително, отрицателно. Така че можем да умножим това по минус 1 -- да видим. Ако го умножим по минус 1 на степен n, тогава това ще бъде минус, а това ще бъде плюс. Но ние не искаме да е по този начин. Искаме първият член да бъде положителен. Така че казваме минус 1 на степен n плюс 1. Като можеш да провериш, че това върши работа. Когато n е равно на 1, имаш 1 по минус 1 на квадрат, което е просто 1 и ще върши работа при всички останали членове. Можем да напишем това като равно на минус 1 на степен n плюс 1, върху n. Ако питам, каква е границата на а с индекс n, когато n клони към безкрайност, това е еквивалентно на въпроса, на колко е равна границата на минус 1 на степен n плюс 1, върху n, когато n клони към безкрайност? Не забравяй, че а с индекс n е просто функция от n. Това е функция, при която сме ограничени ето тук до положителните цели числа като дефиниционно множество. Но това също е просто граница, когато нещо клони към безкрайност. Все още не съм я определил строго, но можеш да обобщиш какво се случва тук. Когато n клони към безкрайност, числителят ще се колебае между плюс и минус 1, но този знаменател просто ще става все по-голямо и по-голям, и по-голям, и по-голям. Така че ще получаваме наистина, наистина, наистина, наистина малки числа. Така че това тук ще клони към 0. Все още не съм го доказал. Просто твърдя, че това е вярно. Но ако това е вярно -- нека го запиша. Ако е вярно, ако границата от а с индекс n, когато n клони към безкрайност, е 0, тогава можем да кажем, че а с индекс n се сходява към 0. Това е друг начин да кажем това тук. Ако не е така, ако границата, когато n клони към безкрайност, не отива към някоя стойност тук -- като не съм определил строго, как определяме една граница -- но ако това не беше вярно, ако не можем да установим някаква граница -- като няма нужда тя да е равна на 0. Ако това не беше равно на някакво число, тогава можем да кажем, че а с индекс n е разходяща.