Теорема за границите на сложни функции

В това видео ще опитам да разясня намирането на граница на сложна функция, или поне да покажа един от начините да разглеждаме границите на сложните функции. По-точно ще разгледаме случай, в който търсим границата на f от g от х, когато х клони към а. Ще видим, че при определени обстоятелства тази граница е равна на f от границата на g от х, когато х клони към а. Вероятно ще попиташ какви са тези по-специални обстоятелства? Това твърдение ще бъде вярно тогава и само тогава, когато са изпълнени две условия: първо – тази граница трябва да съществува – границата L на g от х за х клонящо към а трябва да съществува, като освен това функцията f трябва да е непрекъсната в тази точка – и f трябва да е непрекъсната в L. Да разгледаме някои примери и да видим дали можем да приложим това или не можем да го приложим. Тук имам две функции, които са дефинирани графично. Само да се уверя, че имам достатъчно място за тях. Отляво е графиката на функцията f, а отдясно е графиката на функцията g . Първо да намерим границата на f от g от х, когато х клони към –3. Постави видеото на пауза и първо провери дали тази теорема важи за нашия пример. Ако важи, тогава коя е границата? Първото нещо, което искаме да проверим, е дали теоремата важи за конкретния пример. Първо, за да намерим границата от g от х, когато х клони към минус 3 – на колко е равна тази граница? Когато приближаваме минус 3 отдясно, изглежда, че стойността на функцията е три. Когато приближаваме минус три отляво, изглежда, че стойността на функцията е три. Следователно изглежда, че границата е три, въпреки че стойността на g от минус 3 е равна на минус 2, но това е отстранима точка на прекъсване. Когато х се приближава от двете посоки, стойността на функцията е три. Значи тази граница е равна на три, тя съществува и е изпълнен първия критерий. Вторият въпрос е дали функцията f е непрекъсната в тази граница – дали е непрекъсната за 3? Когато х е равно на 3, това изглежда е тази точка ето тук, тогава определено функцията е непрекъсната, а тогава можем да заключим, че тази граница е равна на границата на f от границата на g от х, когато х клони към минус 3, затваряме скобите, и знаем, че това е равно на три. Знаем, че f от 3 е равно на минус 1. Това отговаря на условията на теоремата и ние успяхме с помощта на тази теорема да намерим търсената граница.