Текстова задача за безкраен геометричен ред: подскачаща топка

Нека кажем, че имаме една топка, която пускаме от височина 10 метра и всеки път, в който тя отскача, се издига на половината височина на предишния отскок. Например, ако я пуснеш от 10 метра, следващият път най-голямата височина на отскока ще бъде 5 метра. Следващият път, при следващия отскок -- нека го нарисувам със същия оранжев цвят. При следващия отскок топката ще отиде до 5 метра. Това разстояние тук ще бъде 5 метра. А при следващия отскок ще бъде на половината на това разстояние. Ще се издигне до 2 и 1/2 метра. Като просто ще продължи да прави това. Тук ще стигне до 2 и 1/2 метра. Нещото, върху което искам да помислим във видеото, е какво е общото вертикално разстояние, което топката ще измине? Нека помислим малко върху това. Тя ще измине първо 10 метра право надолу. Ще измине 10 метра по този начин и след това ще измине половината от 10 метра два пъти. Ще се издигне нагоре до 5 метра, нагоре до половината на 10 метра и след това надолу с половината на 10 метра. Нека го направя по този начин. Всяко от тези ще бъде 10 метра. Всъщност няма нужда тук да пиша единиците. Нека махнем единиците. Ще го напиша по-ясно. При първия отскок още веднъж топката изминава право надолу 10 метра. След това при следващия тя ще се придвижи нагоре с 10 по 1/2. И след това ще слезе надолу с 10 по 1/2. Забележи, че ни интересува само вертикалното разстояние. Не ни интересува посоката. Тя ще отиде нагоре до 10 по 1/2, тоест нагоре с 5 метра и след това ще слезе надолу с 5 метра. Като ще измине общо вертикално разстояние от 10 метра, 5 нагоре и 5 надолу. Какво ще кажем за този отскок. Той ще бъде на половината от разстоянието, което имаме там. Той ще бъде 10 по 1/2 на квадрат нагоре и след това 10 по 1/2 на квадрат надолу. Мисля, че тук виждаш някакъв модел. Това страшно прилича на сума на геометрична прогресия, безкрайна геометрична прогресия. Тя ще продължи по този начин нататък до безкрай. Нека се опитаме да го изясним малко. Това прилича малко на обикновена сума на геометрична прогресия. Ако трябваше да го опростим малко, можехме да го напишем отново като 10 плюс 20. 20 по 1/2 на първа степен, плюс 10 по 1/2 на квадрат, плюс 10 по 1/2 на квадрат ще бъде 20 по 1/2 на квадрат и ще продължа нататък по същия начин. Това ще бъде малко по-ясно, ако там имаше 20. Но можем да го направим. Можем да напишем 10 като минус 10 плюс 20 и след това имаме плюс цялото това нещо тук. Просто ще го копирам от тук. Плюс цялото това нещо тук. Като дори можем да напишем това първо. Можем дори да напишем това 20 ето тук като 20 по 1/2 на степен 0 плюс цялото това. Сега много ясно изглежда като сума на безкрайна геометрична редица. Можем да напишем цялата сума и може би ще я напиша тук, тъй като не искам да губя диаграмата. Можем да я напишем като минус 10. Това минус 10, което е тук. Плюс сумата от k равно на 0 до безкрайност от 20 по частното на степен k. Колко ще бъде това? Колко се оказва, че ще бъде това? Вече получихме в много клипове че сумата на една безкрайна геометрична прогресия, сумата от k равно на 0 до безкрайност, на а по r на степен k, е равна на а върху 1 минус r. Така че просто прилагаме това тук. Това нещо тук ще бъде равно на 20 върху 1 минус 1/2, което е същото като 20 върху 1/2, което е същото като 20 по 2 или 40. Така че какво е общото вертикално разстояние, което ще измине топката? То ще бъде минус 10 плюс 40, което е равно на 30 метра. Общото вертикално разстояние, което ще измине топката, е 30 метра.