Основно съдържание
Курс: 11. клас (България) - стара програма 2019/2020 > Раздел 2
Урок 3: Сходимост на редици - геометрична прогресия- Решен пример: сходящ геометричен ред
- Решен пример: разходящ геометричен ред
- Безкрайни геометрични редове
- Доказателство за представянето на безкраен геометричен ред като граница
- Тълкуване на формулата за сбор на първите n-члена на безкраен геометричен ред
- Текстова задача за безкраен геометричен ред: подскачаща топка
- Текстова задача за безкраен геометричен ред: безкрайна периодична дроб
- Сбор на n квадрати (част 1)
- Сбор на n квадрати (част 2)
- Сбор на n квадрати (част 3)
- Безкрайни редове като граница на частични суми
- Частични суми и редове
© 2024 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки
Безкрайни редове като граница на частични суми
Безкрайните редове са дефинирани като границата на безкрайната редица от частични суми. Тъй като вече знаем как да работим с граници на редици, това определение е много полезно.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.
Видео транскрипция
Дадена е безкрайна сума
от членовете на редица S, това е сумата от n = 1
до безкрайност от a с индекс n (а_n). Можем да го запишем като
а_1 + a_2+... и така продължава
до безкрайност. Продължава до безкрайност. Да кажем, че сме
записали в общия случай, че имаме формула
за частичната сума S. Знаем, че S_n е равно на ((2n)^3)/((n + 1)(n + 2)). Въпросът ми е,
въз основа на тази информация, че S_n е общият вид
на сумата на този безкраен числов ред,
но имам и частична сума. Сумата на първите n
члена S_n е дадена с тази формула тук, тогава дали този ред
е сходящ или не? Дали това клони към
някаква крайна стойност или е неограничена и разходяща? Един начин
да помислим за това е представата, че
безкрайният числов ред S е просто граница за нашите частични
суми, когато n клони към безкрайност. Какво означава това? Нека да имаме редица
от частични суми. Имаме S_1, S_2, S_3
и така нататък, това са сумите на
първите членове. Това е сумата на
първите два члена. Това е сумата на
първите три члена и сега да помислим
какво се случва с тази редица, когато n клони към безкрайност, защото това означава
числов ред. Това е сумата от първите, ако мога да кажа така,
първите безкрайно много членове. Това е сумата от всички
безкрайно много членове. Да помислим какво е това. Границата на S_n, когато
n клони към безкрайност. Това е границата, когато
n клони към безкрайност, за този израз ето тук. ((2n)^3)/((n + 1)(n + 2)). Има няколко начина
да намерим това. Единият е да си кажем: "Тук отдолу това е
полином от втора степен." Тук отгоре имаме
трета степен, така че числителят ще нараства
по-бързо от знаменателя, значи това ще нараства
неограничено. Това веднага ти подсказва,
че когато това клони към безкрайност, S ще е разходящо. Но ако искаш да бъдем
малко по-точни, тогава можем да го преработим
алгебрично. Границата, когато n
клони към безкрайност, 2n^3 върху... нека да разкрием скобите тук – n^2 + 3n + 2. Да видим, можем
да разделим числителя и знаменателя на n^2. Тогава това е границата, когато n клони към безкрайност,
от ... ако разделим числителя и знаменателя
на n^2, тогава... нека да разделим
числителя, делим числителя на n^2, получаваме 2n, а знаменателят, разделен
на n^2 става 1 + 3/n + 2/(n^2). Сега, когато го разглеждаме така, става много ясно, че когато това доближава безкрайност,
това нещо клони към безкрайност,
но този израз долу в знаменателя клони към 0. Това клони към 0, така че знаменателят
клони към 1. Така целият израз е
равен на границата, когато n клони към безкрайност,
тъй като границата на частичната сума клони
към безкрайност, това означава, че този
безкраен числов ред не клони към конкретна стойност. Той е разходящ. Значи този израз тук
е разходящ. За да бъде сходящ, това нещо тук, тази граница, трябва да е някакво
крайно число. Надявам се, че
разбираш логиката. Просто казваме, че за
безкрайните редове, имаме формула
за частичната сума на първите n члена и
че тези безкрайни редове могат да бъдат разглеждани като
граница на частичната сума S_n, когато n клони към безкрайност. Ако тази граница
клони към безкрайност, тогава редът е разходящ.