If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Курс: 11. клас (България) - стара програма 2019/2020 > Раздел 2

Урок 3: Сходимост на редици - геометрична прогресия

Сбор на n квадрати (част 2)

Какъв е сборът на първите n квадрати, 1 + 4 + 9 + 16 + ... + n²? В това видео намираме една възможна формула за този сбор. Създадено от Сал Кан.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

Вече можем да намерим стойностите на А, В и С, като имаме тази система с три уравнения с три неизвестни. Да започнем с двете горни уравнения. Имаме това ето тук в синьо. Ще го копирам и ще го поставя тук. Ще преработя първото уравнение, ще го умножа по –2, така че да мога да съкратя членовете, съдържащи С. Това е –2А минус 2В минус 2С, равно на –2. После, ако събера левите и десните страни съответно, отляво получавам 6А плюс 2В, тези се унищожават, равно на 3. Другите уравнения, които можем да използваме, са това оранжевото и това зеленото, така че да се съкратят С-тата. Имаме 27А плюс 9В плюс 3С равно на 14. И тук – да видим. Мога да умножа по –3, ако искам отново да се унищожат членовете с С. Искам да получа две уравнения с две неизвестни, които да изразяват тези две условия в една система и тези две уравнения в една система. Сега ще разгледам тези двете. ще умножа това уравнение по –3. Получавам –3А минус 3В минус 3С равно на –3. Сега можем да заместим. Получаваме 24А плюс 6В, членовете, съдържащи С се унищожават, равно на 11. Сега имаме две уравнения с две неизвестни. Да видим. Ако умножа това уравнение ето тук по –3, тогава членовете, съдържащи В ще се унищожат. Да го направим. Ако умножа това уравнение по –3, това условие или този член, 6А по –3 става –18А. 2В по –3 става –6В, равно на 3 по –3, равно на –9. Ако съберем двете страни, отляво получаваме – да видим. 24А минус 18А е 6А – тези се унищожават – равно на 11 минус 9, което е 2. Делим двете страни на 6. Получаваме, че А е равно на 2/6, което е равно на 1/3. Сега можем да заместим и да намерим В. Да видим. Имаме 6 по 1/3. А е равно на 1/3. Плюс 2В е равно на 3. 6 по 1/3 е равно на 2. 2 плюс 2В е равно на 3. Изваждаме 2 от двете страни. 2В равно на 1. Делим двете страни на 2. В е равно на 1/2. Значи А е 1/3. В е 1/2. Сега можем да намерим С. Връщаме с в началното уравнение ето тук. Имаме 1/3 плюс 1/2 плюс С равно на 1. Всъщност ще го сметна ето тук, за да имам място. За да имам място, ще го направя ето тук. Имам 1/3 плюс 1/2 плюс С равно на 1. Сега да намерим общ знаменател. Да видим. Общото кратно на 3, 2 и... можем да кажем и 1 – това е 1/1, кратното е 6. Значи мога да представя това като 2/6 плюс 3/6, плюс С е равно на 6/6. 1 е равно на 6/6. Значи това е 5/6 плюс С равно на 6/6. Изваждаме 5/6 от двете страни. Получаваме, че С е 1/6. Значи С е равно на 1/6. И сме готови. Заслужаваме аплодисменти. Намерихме формула за сумата от квадратите на първите n естествени числа. Можем да преработим това. Тази формула ще стане... А е 1/3. Това е 1/3 по n^3 плюс 1/2 по n^2... само искам да съм сигурен, че не изглежда, че n е... 1/2 по n^2 плюс 1/6 по n. Това е много удобна формула. Сега, ако искаш да намериш 0^2 плюс 1^2 плюс 2^2 плюс 3^2, и така нататък до 100^2, вместо да повдигаш 100 числа на квадрат и после да ги събираш, можеш да пресметнеш 1/3 по 100^3 плюс 1/2 по 100^2 плюс 1/6 по 100. Можеш да използваш формулата за произволно число. Така че това е една много удобна формула.