Лице на снежинката на Кох (1 от 2)

Знаем как се намира лицето на равностранен триъгълник. Това, което целя в това видео е да се опитаме да намерим лицето на, нещо погрешно го произнасям, на снежинката на Кох. А за да построим една такава снежинка, трябва да започнем от един равностранен триъгълник. Всяка една от неговите страни разделяме на три. Тогава в средната третинка вкарваме друг по-малък равностранен триъгълник. И това е след едно преминаване. При следващото преминаване правим същото за всички страни тук, т.е. малко тук, и тук, и тук, и тук, и тук, и тук, и тук. Мисля, че основната идея е ясна, така че минаваме нататък. При следващото преминаване имаме всички тези страни. Това, което е удобно тук, и го показахме миналия път, е това, че е налице фигура, която има неопределена обиколка, но в това видео ще видим, че всъщност лицето е определено. Това е нещо много интересно. Така че нека започнем с един простичък равностранен триъгълник тук. Ще приемем, че всяка от страните му е с дължина S, това е един равностранен триъгълник, с равни страни. Ще го начертая малко по-прилично, всяка от страните има дължина S. И така, това, което искам да направя тук, е да проследя две неща. Искам да проследя страните на този триъгълник така, докато той се превърне в снежинка. Ще проследя броя страни и лицето след всяко преминаване, при което се прибавят по-малки триъгълници. Така че това ще е пресмятането на лицето. Всъщност, нека си направя малко повече място, защото имам чувството, че може да ми е нужно. Така, това са страните. Ще пиша тук горе; тогава това тук е показателят за лицето тук долу. И когато започнем, имаме три страни. И лицето, което трябва да намерим още от миналия път, ще бъде, приемаме, че всяка от страните с дължина S ще е равна на корен квадратен от три пъти по корен квадратен от три S на квадрат върху четири. Ясно е, че е налице един обикновен равностранен триъгълник. Сега ще вземем всяка една от страните, като ги разделим на третини. Вземаме всяка страна, делим я на по три части. И тогава, в тази средна третина, ще добавим друг по-малък равностранен триъгълник. Той ще изглежда като онзи от онази страна там. Нека помислим какво правим с всяка страна тук. Преди да го направя, това е само една страна. След това я разделям на третини, а тази средната третина, казахме, че в нея добавяме две страни. Добавям един равностранен триъгълник. И едната страна сега се е превърнала в една, две, три, четири страни. Така че при всяко едно преминаване изработването на снежинката става все по-сложно. Всяка страна се превръща в четири страни. Така че човек може да си представи как ако правим това върху всичките три страни, имаме четири пъти по три, което сега са 12 страни. И ако ги умножим по четири, така че умножението на четири, това прави 12 страни. Можем да ги преброим, за да се уверим, че сме с правилна логика, едно, две, три, четири, пет, шест, седем, осем, девет, десет, единадесет, дванадесет страни. И какво излиза да е лицето? Какво ще е лицето на всеки от всичките жълти равностранни триъгълници плюс лицето на всеки един от по-малките триъгълници? И какво в лицето на всеки от тези по-малките? Ами, най-напред имаме три от тях. Има три от тези, всеки от по-малките триъгълници. Тогава отново използваме формулата за равностранен триъгълник. Т.е. ще имаме корен квадратен от три пъти по S на квадрат, понеже сега дължината на всяка от тези страни, всяка една от тях е равна на тези по-малки равностранни триъгълници. Те вече не са S, а са S върху три. Да не забравяме, че тази дължина тук е S върху три, т.е. пак ще имаме S върху три. При всяко преминаване, страните на равностранния триъгълник стават една трета от предишното преминаване. Така че това вече няма да е S на квадрат. Ще е S върху три на квадрат, и тогава всичко това ще е върху четири. Нека сетне направим още едно преминаване. Т.е., ще добавя тези триъгълници тук. След това добавям тези там. И това е последното преминаване, при което всъщност се опитвам да начертая всички триъгълници там. Така че колко страни ще имам най-напред, след като направя още едно преминаване? Ами на миналото преминаване имах 12 страни, всяка от тези 12 страни понастоящем ще се превърне в четири нови страни, когато добавя тези малки оранжеви рогчета там. Така че когато пак умножа това по четири, ще го умножавам по четири, и вече ще имам 48 страни. Ще имам 48 страни. А колко са новите триъгълници, т.е. каква е площта, каква ще е жълтата площ плюс синята плюс оранжевата площ? Колко нови оранжеви триъгълници ще са налице? Ами добавям един нов оранжев триъгълник към всяка от страните при предишното преминаване. А при предишното преминаване имам 12 страни, така че сега ще са налице 12 оранжеви триъгълника. Ще добавя 12 оранжеви триъгълника. И всъщност нека запиша това, или ще запиша 12 оранжеви триъгълника, но реално, просто умножавам това по четири. И тогава ще имам умножение по квадратен корен от три. Това няма вече да е равно на S върху три. Ще е равно на S върху девет. Тези елементи съдържат една трета от мерките на тези сините триъгълници. Така че това ще е S върху девет на квадрат, S върху девет на квадрат върху четири. И така, мисля, че можем да започнем да виждаме как орнаментът се оформя ако направим още едно преминаване след предишното. Придвижваме се малко надясно, и как ще изглеждат нещата? Нека тук използваме различен цвят, който още не съм използвал. Да видим дали още не съм използвал това розовото. Сега ще имаме, ще имам предишния брой страни, това е броят нови триъгълници, 48 пъти по корен квадратен от три пъти по S върху - това, което ще направя, сега тези ще са една трета от тези, S върху 27 на втора степен, всичко това върху четири. И ще продължа да прибавям неопределен брой членове тук, за да се схване какво представлява лицето на една истинска снежинка на Кох. Ще продължа да правя това отново и отново. По този начин се намира тази неопределена сума, и нека видим дали тук получаваме определено число. Първото нещо, което искам да направя, е да опростя. Нека препиша това-онова. Преписвам го тук по малко по-различен начин. Първото подобно нещо, което може би е ясно, е това, че можем, чрез квадратния корен от три S на квадрат върху четири, нека разложим този израз. Ако разложим израза с квадратен корен от три пъти S на квадрат върху четири, от всички членове, тогава този член тук ще стане едно цяло. Този тук ще стане три, да видим, разлагаме а на квадрат от три, разлагаме от четири, и разложихме S на квадрат. Разложихме всичко в S на квадрат, така че сега ще имаме плюс три пъти, една трета по три пъти по една трета на квадрат. Това е всичко останало тук, имаме една трета на квадрат, и след това имаме тази тройка. Тук не опростявам това с с целта да видим появяващ се орнамент. Тогава този следващ множител тук плюс, така че това 12 пак ще е там, но ще го запиша като три пъти по четири. И ще изгубим, това, което разлагаме, квадратния корен от три, разлагаме четири, разлагаме и S на квадрат. И ще ни останат три на квадрат, това е останалото тук долу, на квадрат. Тук имаме едно върху една трета на квадрат, и след това този квадрат. И това, което ни е останало, този оранжев член. Отиваме на розовия член. Този розов член, това е 48, то е три пъти по 4 по 4. Три пъти по четири. Тук ще напиша четири на квадрат, понеже всеки път ще умножаваме отново по четири. Така че след това ще имаме четири на трета степен, понеже при всяко повторение, всяка страна се превръща в четири страни. Ето от къде идва това. Четири на квадрат го губим, разлагаме три на квадрат, разлагаме четири, разлагаме и S на квадрат, и това което ни остава е едно върху три на трета степен на квадрат. Така, умножено по 1 върху 3 на трета степен на квадрат, и ще продължим така до безкрайност. Продължаваме така до безкрайност. Така, на всяка стъпка увеличаваме, умножаваме по четири, и умножаваме, предполагам, казваме, степента на тази четворка като увеличение. Т.е. от там по принцип има преминаване от четвърта на нулева степен. Тук имаме едно. Можем да си представим, че безусловно четвъртата от първите степени по четири на квадрат, и тогава ще отидем четири пъти на трета. Тогава и тази степен тук показва нарастване. Три на първа, три на втора, три на трета. Виждаме, че степента винаги е с едно по-голяма от дадената. И ще е много по-лесно пресмятането на тази неопределеност, която ще се превърне в безкрайна геометрична прогресия, ако тук е имало една и съща степен/ Та това, което искам да направя, е че искам да увелича четвъртата степен във всички тези членове. Но не мога ей така, от немай къде да умножа всичко по четири. Ако ще умножавам всичко по четири, трябва да разделя всичко на четири. Така че това, което ще направя тук, е че ще умножа и разделя всичко на четири. И така, ако разделим на четири, мога да го направя повърхностно, така че това тук ще го умножа 1/4 пъти. И така, деля на четири и това тук ще умножа по четири. Така че няма да променям действителната стойност тук. Ще имаме четири плюс три пъти по четири, плюс три пъти по четири на квадрат, четири на трета степен. И така това, което беше хубаво тук сега представлява степента на степен и степента на тези трите, ще имаме същата степен. Но пак изглежда малко странно, понеже визираме това тук върху три на квадрат и повдигаме това на квадрат, едно върху три на трета степен, след което повдигаме на квадрат. И тук трябва да осъзнаем, че това винаги ще е повдигнато на квадрат, а това винаги ще нараства. Но като цяло, ако имам едно върху три до края и го повдигна на квадрат, това е равно на едно върху три на степен 2N, при което умножавам по две, нали така? Ако повдигам нещо чрез даден степенен показател, тогава повдигането на това на дадена степен, това представлява умножение, или повдигане на, повдигане на степен N-та, умножено по показателя. Което е равно на едно върху три на квадрат, повдигнато на N-та степен. Така че всъщност можем да включим тези два показателя по много основателен начин. И тогава нека препиша всичко, понеже определено искам да направя доста при тази стъпка тук. Така, тази част тук е равна на квадрата на три S на квадрат върху 16, и тогава това ще е умножено по, ще отворя и затворя скоби. и тогава имаме четири плюс, следва в синьо, ще запиша три пъти по четири на първа степен. След което мога да напиша това, мога да препиша това тук като едно, умножено по една трета. Можем да го разглеждаме като една трета на квадрат или да го разглеждаме като, да го разглеждаме като едно върху три на първа степен на квадрат, или като едно върху три на квадрат на първа степен. и ще го запиша по този начин. Умножено по една девета на първа степен. След това плюс три пъти по четири на квадрат, и после тези тук можем да запишем като умножение по една девета на втора степен. И тогава тези тук, където можем да запишем плюс три пъти по четири на трета степен, знак за умножение, и това можем да го запишем, че е върху 27 на втора степен. Но това можем да го напишем и въз основа на видяното тук. Нека изясня. Едно върху три на трета степен на втора степен, това е равно на едно върху три на квадрат на трета степен. Това показахме тук. И така, това е равносилно на една девета на трета степен. Сега започваме да виждаме орнамента, и как малко се изчистват нещата. И нека направя още една стъпка, и ще приключим с това следващия път. Та това е равно на корен квадратен от три S на квадрат върху 16 пъти по четири, плюс четири плюс три пъти, това дава четири девети плюс, следващият множител е три пъти по четири девети на квадрат. И след това имаме плюс умножено по четири върху девет на трета степен. И като продължим напред, напред, напред и все напред, като вземем три пъти четири девети към последователно по-голяма и по-голяма степен. Така, това е сборът, който трябва да намерим, да намерим нашето лице, което ще направим следващия път. Ще използваме някои от методите, които използвахме за да намерим сумите на безкрайни геометрични прогресии. Но ще го направим пак следващия път, за да не се налага да запомняте тази формула или това доказателство.