Необходимо условие за сходимост на числов ред

Това видео е първото от поредица, в която ще разглеждаме критерии за определяне на сходимостта на числови редове. Първият начин за проверка, който ще разгледаме сега, е вероятно най-основният, и се надявам да се убедим, че е и най-логичният, включва необходимите условия за сходимост. Необходимите условия за сходимост няма да ни покажат дали един ред е сходящ, но ще покажат категорично дали е разходящ. Първо ще го запиша по математически издържан начин, а после ще разгледаме един конкретен пример. Необходимото условие за сходимост ни казва, че ако границата на a_n за n клонящо към безкрайност не е равна на нула, тогава безкрайният ред, представляващ сумата от a_n за n = 1 до безкрайност, е разходящ. Вече говорихме какво означава един ред да е разходящ, сборът няма определена крайна граница – или клони към плюс безкрайност или клони към минус безкрайност, или просто се колебае между някакви стойности, но никога не достига някаква определена сума или стойност. Ето това ни казва необходимото условие за сходимост и сигурно си мислиш: "Добре, разбирам какво означава това, но къде реално мога да го използвам?" За да разберем кога може да се използва, нека да разгледаме един ред и да видим дали можем да определим дали е разходящ. Нека да имаме този ред, сумата за n от 1 до безкрайност принципно, не е задължително да е винаги n от 1, може да е n от 5, може да е n от 0. Важното е, че този ред е безкраен, ето защо търсим границата при n клонящо към безкрайност. Нека да имаме сумата от от (4n^2 – n^3)/(7 – 3n^3). От това, което знаем за необходимото условие за сходимост, дали този числов ред е сходящ или разходящ? Като разгледаме израза, да видим какво сумираме. Това е нашето a_n, ако се опитваме да съпоставим с определението, или с обяснението на необходимото условие за сходимост. Да помислим коя е границата, когато n клони към безкрайност, на (4n^2 – n^3)/(7 – 3n^3). Насърчавам те да спреш видеото и да помислиш. Има няколко начина за разсъждение. Единият е да сравним, когато n клони към безкрайност, членовете от най-висока степен в числителя и знаменателя са тези, които са важни. Това ще клони към –n^3, върху –3n^3, което просто ще клони към –1 върху –3, което е +1/3. Но ако искаме да направим по-систематично определянето на границата, когато n клони към безкрайност, можем да разделим числителя и знаменателя на n^3, така че, когато разделя числителя на n^3, тази първата част ще стане 4/n минус 1, върху 7 върху n^3, минус 3. Сега става ясно, че границата, когато n клони към безкрайност, това клони към нула, това клони към нула, и остава –1 върху –3, което е равно на 1/3. Обърни внимание, че границата на общия член a_n, когато n клони към безкрайност, в този случай не е равна на 0, следователно този безкраен ред ще бъде разходящ. Сега да помислим за секунда защо това е много логично. Единственият начин да е сходящ... спомни си, че това е безкрайна редица. Това е безкрайна редица от суми, така че единственият разумен начин нещо да е сходящо към някаква крайна стойност е ако всеки следващ член, който добавяме, става все по-малък, и по-малък и клони към нула. Ако, когато n клони към безкрайност, нямаме граница, или даже ако е равно на 1/3, това означава, че до безкрайност продължаваш да събираш суми, които са все по-близки до 1/3. Ако съберем безкраен брой членове, равни на 1/3, то ние ще достигнем до безкрайност, няма граница. Това ще се отдалечава, това означава ето това. За да бъде нещо сходящо, когато сумираме безкрайна редица от това, в някакъв момент тези членове трябва да станат много, много близки до нула. Ако в някакъв момент те не са близки до нула, тогава няма начин редът да е сходящ, редът е разходящ. Надявам се, че виждаш логиката. Това ни показва и още едно нещо, което не може да направи необходимото условие за сходимост. Необходимото условие за сходимост може да покаже, че нещо е разходящо, но ако нещо удовлетворява необходимото условие за сходимост, ако не можем да кажем, че редът е разходящ, ако това не е вярно, това не означава непременно, че този ред е сходящ. Ще ти покажа един пример. Ето тази сума от 1/n за n = 1, като това е един хармоничен ред, ако изследваме необходимото условие за сходимост, ще потърсим границата на 1/n, когато n клони към безкрайност. Това е нула, когато n клони към безкрайност, това е равно на нула. Това удовлетворява необходимото условие за сходимост, но само с използване на необходимото условие за сходимост не можем да кажем, че това нещо е разходящо, но това не означава, че това е сходящ ред. Оказва се, и ние ще го докажем в няколко видеа, оказва се, че това нещо е разходящо. Това е разходящо, но само необходимото условие за сходимост не е достатъчен инструмент, за да сме сигурни, че това е разходящо. Ще използваме критерия за сравнение и интегралния критерий (на Коши), които също могат да се използват, за да се провери дали редът е разходящ. Определено не може да се твърди нещо за даден обект, ако не знаем дали това се отнася за него. Ако границата на общия член на реда клони към нула, когато n клони към безкрайност, редът все пак може да е разходящ Не е задължително да е сходящ. Има редове, които са сходящи, когато общият член клони към нула, например, ако взема сумата от 1/n^2 за n от 1 до безкрайност, ако използвам необходимото условие за сходимост, границата на 1/n^2 е нула, когато n клони към безкрайност. Знаменателят става наистина много голям, тази дроб клони към нула, така че това изпълнява необходимото условие за сходимост. Само от тук не можеш да знаеш, че този ред ще е сходящ, той все пак може и да е разходящ. Само използването на необходимото условие за сходимост може да не е достатъчно Оказва се, и ние отново ще го доказваме в бъдещи видеа, че това е сходящо. Този ред е сходящ, но не заради това, че изпълнява необходимото условие за сходимост. Трябва да използваме различни критерии, за да покажем, че това реално е сходящ ред, просто трябва да използваме различни критерии, за да покажем, че това не е разходящо. Необходимото условие за сходимост може да се използва тогава, когато редовете не го изпълняват. Когато се установи, че границата от a_n не е равна на нула, когато n клони към безкрайност, както в този случай тук горе. В този случай необходимото условие за сходимост ни помага, защото можем да направим извод, че този ред определено е разходящ.