If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Курс: 11. клас (България) - стара програма 2019/2020 > Раздел 2

Урок 4: Сходимост на редици - примери

Сходящ и разходящ геометричен ред (с преобразуване)

Сал разглежда примери на три безкрайни геометрични редове и определя дали всеки от тях е разходящ или сходящ. За да направи това, той трябва да преобразува изразите и да намери общото частно. Създадено от Сал Кан.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

Тук имаме три различни безкрайни суми. Искам да спреш видеото на пауза и да помислиш дали всяка от тях е сходяща или разходяща. Добре, сега да го направим заедно. Само да припомня, сходимост означава, че въпреки, че имаме сума от безкраен брой членове във всеки от тези случаи, ако те са сходящи, това всъщност означава, че тази безкрайна сума има крайна стойност, когато бъдат сумирани безкраен брой членове, което винаги ми се е струвало удивително. Разходимост означава, че няма да получим крайна стойност за сумата на всички тези безкраен брой членове. Как да разсъждаваме за това? Вече знаем нещо за геометричните редове, а тези приличат на геометрични редове. Само да си припомним какво знаем вече. Знаем, че геометричните редове обикновено се записват, като започнем с n е равно на, обикновено е равно на нула, но нека да кажем, че започва от някаква константа. После имаме до безкрайност, сумата от r на степен n, където r е частното, разглеждали сме го подробно в други клипове. Това е стандартният начин за записване на геометрични редове. Знаем, че ако абсолютната стойност на r е между нула и 1, тогава този ред е сходящ. Ако не е, просто ще напиша "в противен случай" редът е разходящ. Може би добър начин е да преработим тези изрази, после да се опитаме да дефинираме всеки от тези членове, като намалим n, ако можем да ги преработим в този вид, можем да намерим частното и да помислим дали са сходящи или разходящи. Ще се фокусирам върху тази част ето тук. Да видим мога ли да я преработя. Да видим, мога да я преработя, да видим, като 5 на степен (n – 1), мога да представя това като 5 на степен n по 5 на степен –1, и после това е по 9/10 на степен n. Да видим, това е равно на, ще стане – мога да запиша просто тази част ето тук. Ще го запиша като 1/5, това е равно на 5 на степен –1, по, после имаме 5^n и 9/10 на степен n. Добре, имаме еднакъв степенен показател, значи мога да го преработя, умножавам всичко това, само променям реда, това е равно на 5 по 9/10, на степен n Това е равно на 1/5 по, 5 по 9 е 45, върху 10 е равно на 4,5, значи по 4,5 на степен n. Оригиналната сума преработихме като, само да запиша тук, започваме от n = 2, до безкрайност, и това може да се представи като 1/5 по 4,5 на степен n. Колко е частното, колко е r? Много ясно се вижда, че е равно на 4,5. Абсолютната стойност на 4,5 очевидно не е между 0 и 1. В този случай имаме разходимост. Ако това те е вдъхновило, ако не се справи първия път, когато те помолих да спреш видеото, опитай да го спреш на пауза отново и да решиш тези сега, след като видя този пример. Добре, да се захващаме. Просто ще опитам да преработя алгебрично тази част, за да я представя в този вид. Да го направим. Мога да преработя това, да видим, ако мога да представя нещо на n-та степен, мога да го представя като 3/2 на n-та степен, тази част тук мога да представя като по 1/9 на n-та степен, по 9 на квадрат. Това е равно на 3/2 на n-та степен. Да видим, мога да преместя отпред 1/9 на квадрат, ще го направя така. Ще запиша 1/81 ето тук, това е тази част ето тук. 1/81 по 3/2 на n-та степен, по 1/9 на n-та степен. Но 1/(9)^n е равно на (1/9) цялото на степен n. Направих го така, защото сега и двете са на n-та степен, и мога да направя същото, което направих преди. Значи това ще е равно на 1/81, по 3/2 по 1/9 на степен n. Просто тук използвам свойствата на степените. Това ще е равно на 1/81, по, да видим, по 3/2 по 1/9, което е 3/18, което е 1/6, значи по 1/6 на степен n. Ако трябва да преработя оригиналната сума, това е сумата от n = 5 до безкрайност, от – сега това преработихме като 1/81 по 1/6 на степен n. Това е частното, 1/6, съвсем очевидно е. Ще го направя със светло синьо, 1/6. Абсолютната стойност тук очевидно е между 0 и 1, значи в този случай имаме сходимост. И сега последният пример. Този ще го направя малко по-бързо. Да видим, ако трябва да преработя алгебрично тази част, това е равно на 2 на степен n, по 1 върху 3 на степен n, по 3 на степен –1. Това е равно на 2^n по 1 върху, защо написах равно? По 1/3 на степен n. 1 върху 3 на степен –1 е равно на 1 върху 1/3, което е равно на 3, значи по 3. Това ще е равно на – ще си направя малко място, ще започна ето тук. Това е равно на, ще изнеса 3 отпред, 3 по 2^n, 1 върху 3^n е равно на (1/3)^n. Това е равно на 3 по 2 по 1/3, цялото на степен n. Това е равно на 3 по (2/3)^n. Само опростихме тази част тук до 3 по (2/3)^n. Виждаме, че частното е равно на 2/3, като абсолютната стойност на 2/3 очевидно е между 0 и 1. Този ред също е сходящ. И сме готови.