Въведение в показателни функции

. В това видео искам да те запозная с показателната функция и да ти покажа колко бързо може да нараства тя. Нека просто напишем една примерна показателна функция тук. Нека приемем, че имаме y = 3^х. Забележи, това не е x на трета степен, това е 3 на степен х. Нашата независима променлива x е степенният показател. Нека да направим таблица тук, за да видиш колко бързо расте това нещо и може би ще построим и графика. Нека вземем някои от стойностите на х тук. Нека да започнем с х = –4. След това ще отидем на –3, –2, 0, 1, 2, 3 и 4. Нека да изчислим колко ще бъдат нашите стойности на у за всяка една от тези стойности на x. Тук y ще бъде 3 на степен –4, което е равно на 1 върху 3 на четвърта степен. 3 на трета е 27, умножено отново по 3 е 81. Така че това е равно на 1/81. Когато х е равно на –3, y е 3. Ще направим това в различен цвят. Този цвят трудно се чете. y е 3 на степен –3. Е, това е 1 върху 3 на трета степен, което е равно на 1/27. Тръгваме от супер-малко число към по-малко супер-малко число. И след това 3 на степен –2 ще бъде 1/9, нали? 1 върху 3 на квадрат, а след това имаме 3 на 0-ва степен, което е равно точно на 1. Така че получаваме малко по-големи, малко по-големи, но ще видиш, че сме на път да се взривим. Сега имаме 3 на първа степен. Това е равно на 3. След това имаме 3 на втора степен, нали? y е равно на 3 на втора степен. Това е 9. 3 на трета степен е 27. 3 на четвърта степен е 81. Ако бяхме сложили пета степен е 243. Нека да направя графика на това, само за да получиш представа колко бързо се взривяваме. Ще начертая моите оси тук. Това е моята ос x, а това е моята ос y. Това е моята ос у. И нека ги направя на деления от 5, защото наистина искам да схванеш общата идея на графиката тук. Така че ще се опитам да начертая колкото мога по-права линия. Да речем, това е 5, 10, 15. Всъщност няма да стигна до 81 по този начин. А аз искам да стигнем до 81. Е, това е достатъчно добре. Нека да го направя малко по-различно, отколкото го направих. Ще го начертая тук, защото всички тези стойности, както забелязваш, са положителни стойности, защото имам положителна основа. Така че нека да го направя по този начин. Ето така. Достатъчно добре. И тогава да речем, че имам 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80. Това там е точно 80. Това е 10. Това е 30. Това ще бъде добре за приблизителни стойности. И след това да речем, че това е –5. Това е положително 5 тук. И всъщност, нека го разтегна още малко. Да речем, това е –1, –2, –3, –4. След това имаме 1, 2, 3 и 4. Така че, когато х е равно на 0, у е равно на 1, нали? Когато х е равно на 0, y е равно на 1, което е точно някъде тук. Когато х е равно на 1, y е равно на 3, което е точно някъде тук. Когато х е равно на 2, y е равно на 9, което е точно някъде тук. Когато x равно на 3, y е равно на 27, което е някъде тук. Когато х е равно на 4, y е равно на 81. Виждаш, че много бързо това просто експлодира. Ако взема 5, ще отидем до 243, което няма дори да се побере на моя екран. Когато отидеш на –1, ставаме все по-малки и по-малки. Така в –1 ние сме в 1/9. В крайна сметка дори няма да видиш това. Ще се приближава все повече и повече до нулата. Тъй като приближава все по-големи и по-големи отрицателни числа, или предполагам, трябва да кажа, по-малки отрицателни числа, така че 3 на –1000, 3 на –1милион, ще получаваме числа все по-близки и по-близки до нулата, без всъщност някога да достигнем нулата. Така че, като отидем от x е равно на минус безкрайност, ние много се доближаваме до нулата, бавно се отдалечаваме от нулата, но след това – бам! След като веднъж навлезем в положителните числа, ние просто се взривяваме. Ние просто се взривяваме и продължаваме да се взривяваме с всяка следваща стъпка. Така че идеята тук е просто да ти покажа, че показателните функции са наистина, наистина драматични. Ти винаги можете да създадеш по-бързо нарастваща функция. Например, можеш да кажеш, че у е равно на х на степен x, дори още по-бързо растяща, но от тези, с които се срещаме в ежедневието, тази е една от най-бързите. Така че, имайки предвид това, нека направим няколко словесни задачи, които да ни дадат представа за показателните функции. Да речем, че някой изпраща верижно писмо в седмица 1. През седмица 1 някой е изпратил верижно писмо до 10 души. И верижното писмо казва, че трябва да изпратиш сега това верижно писмо до още 10 нови човека, или ако не, ще имаш лош късмет и косата ти ще опада, и ще се сгодиш за жаба, или каквото друго се сетиш. Така че всички тези хора са съгласни и те пишат писма и ги изпращат до 10 души на следващата седмица. Така в седмица 2 те пишат и всеки от тях изпраща до още 10 човека. Така че всеки един от тези първоначални 10 човека изпраща по още 10 писма. И сега 100 души получават писмата, нали? Всеки от тези 10 е изпратил 10, така че 100 писма бяха изпратени. И така, да видим – десет. 10 са били изпратени. Тук – 100 писма бяха изпратени. Какво ще се случи през седмица 3? Всеки от тези 100 души, които получиха това писмо, ще изпратят на още 10, ако приемем, че всеки наистина харесва верижни писма. Така че 1000 души ще го получат. И така общият модел тук е: хората, които го получават в седмица n, където n е седмицата, за която говорим, колко хора ще са получили писмото? През седмица n, имаме 10 на степен n хора, които получават писмото. i е преди е,освен ако не е след c. Така че, ако трябваше да те попитам, колко хора са получили писмо на шестата седмица? На шестата седмица. Колко хора всъщност ще получат това писмо? Колко е 10 на шеста степен? 10 на шеста е равно на 1 с шест нули, което е 1 милион души, които ще получат това писмо само след 6 седмици, като просто всеки изпраща само по 10 писма. И очевидно, в реалния свят, повечето хора хвърлят такива в коша, така че няма толкова добра успеваемост. Но ако я имаше, ако всеки 10 човека, на които сте го изпратили, също го изпращаха до 10 души, и така нататък и така нататък, до шестата седмица, ще имаме един милион души. А на деветата седмица, ще имаме един милиард души. И честно казано, седмица след това, може би ще ни свършат хората. Ще се видим в следващото видео.