Построяване на експоненциални модели (стар пример)

"Цезий-137 е радиоактивен изотоп, използван за изучаване на възходящата ерозия на почвата и низходящата седиментация. Има полуживот от приблизително 30 дни." Тоест този полуживот от 30 дни, това означава, че ако започнеш с 2 килограма цезий-137, 30 дни по-късно ще имаш 1 килограм цезий-137. Другият килограм се е разложил в други неща. И ако изчакаш още 30 дни, тогава ще имаш половин килограм цезий-137. "Приеми, че количеството А, в бекерели, на цезий-137 в дадена проба от пръст е зададено от показателната функция А е равно на с по (r на степен t), където t е броят дни след освобождаването на цезий-137 в почвата, а с и r са неизвестни константи." Това изисква малко обяснение. Какво е това бекерел? Обикновено, ако говоря за количеството от някакъв елемент, вероятно ще си мисля във връзка с масата и може да говоря за килограми. Но някои хора може също да говорят за количеството от това радиоактивно вещество като количество радиоактивност, което то произвежда. И бекерел е международната мерна единица за радиоактивност – наречена на Хенри Бекерел, който заедно с Мария Кюри е открил радиоактивността. Така че можеш да приемеш това за количеството цезий-137, който създава А бекерела радиоактивност. Но и в двата случая можем да мислим за това като количество. Но всъщност е количеството, което води до А бекерела активност. Да поясним, количеството е "дадено от показателната функция А е равно на" – нека го препиша – "А е равно на с по (r на степен t), където t е броят дни след освобождаването на цезий-137 в почвата, а с и r са неизвестни константи." Добре. Нека поясним, това е дни след освобождаването. "В допълнение, приеми, че знаем, че първоначалното количество цезий-137, освободено в почвата, е 8 бекерела. Намери неизвестните константи с и r." Първоначалното количество в почвата. Това е, когато t е равно на 0. Когато не са изминали николко дни. Тоест можем да кажем, че количеството при време 0 – това ще е равно на с по (r на степен 0), което ще е равно на с по 1, което е равно на с. И ни казват колко е А(0). Казват, че А(0) е 8 бекерела. Това ще е равно на 8. Тоест нашата константа тук, с, просто ще е равно на 8. "Каква е стойността на константата?" Тук можем просто да запишем 8. Стойността на константата с е 8. "Каква е стойността на константата r? Закръгли до най-близката хилядна." Започваме с 8. Така, А(0) е 8. Колко ще имаме след 30 дни? И причината да избера 30 дни е, че това е полуживотът на цезий-137. А(30), помни, t е – нека просто да променя цветовете за по-интересно – t е в дни. А(30). След 30 дни, аз ще – ако искам да използвам тази формула тук, ако исках да използвам описанието на тази показателна функция, вече знаем, че с е 8. Това ще е 8 по (r на степен 30), което ще е равно на колко? Ако започнем с 8, 30 дни по-късно ще имаме половината от това. Ще имаме 4 бекерела. Сега можем да използваме това, за да намерим r. Имаш 8 по (r на степен 30) е равно на 4. Делим двете страни на 8. Получаваме, че r на степен 30 е равно на 4 върху 8 – което е същото нещо като 1/2. И после можем да повдигнем двете страни на степен 1/30-та. r на степен 30 – но после можеш да помислиш за корен 30-ти от това или повдигане на това на степен 1/30 – това просто ще ни даде r, равно на 1/2 на степен 1/30. И това е много трудно за изчисление наум. Така че предлагам за това да използваме калкулатор. И ни подсказват, понеже ще закръглим до най-близката хилядна. Нека извадим калкулатор. Говорим за 1/2 на степен 1/30. Получаваме 0,9771599 – и продължава. Но ни казват да закръглим до най-близката хилядна, тоест става 0,977, закръглено до най-близката хилядна. Накрая казват: "Колко бекерела цезий-137 остават в пробата ни 150 дни след като е освободен в почвата? Използвай закръглената стойност на r и закръгли това число до най-близката стотна." Да поясним, вече знаем с и r. Знаем, че количеството цезий-137 в бекерели – като функция на времето в дни – ще е равно на 8 по (0,977 на степен t), където t е броят изминали дни. Тоест ни питат колко ще имаме след 150 дни? Искат да изчислим колко е А(150). Това ще е 8 по (0,977 на степен 150). Очевидно ни трябва калкулатор. Нека пресметнем това. Това ще е 8 по – и ни казват да използваме закръглената стойност на r, а не точната стойност на r. Това ще е 8 по 0,977 на степен 150. И искат да закръглим до най-близката стотна. 0,24 0,24 бекерела е радиоактивното ниво на цезий-137, което ни е останало. Едно интересно нещо е, че искаха да използваме закръглената стойност на r. Така че използвахме закръглената стойност на r. Понеже това тук е кратно на 30, можеш – по не твърде труден начин – да намериш точната стойност, която е останала. И дори не ти трябва калкулатор. Окуражавам те да спреш видеото и да опиташ да помислиш за това. Намери точната стойност. Вместо да пишем 0,977, нека запишем А(t) е равно на 8 по нашето r... Това е приблизителна стойност за r. Ако искахме да сме малко по-точни, можем да кажем, че нашето r е 1/2 на степен 1/30. И ще повдигнем това на степен t. Или можем да кажем, че А(t) е равно на 8 по (1/2 на степен t/30). Ако повдигнем нещо на някаква степен, и после повдигнем цялото на друга степен, можем да вземем произведението на тези две степени. Това е 1/2 на степен t/30. Нека направя това в друг цвят. Нека направя това в жълто. Това е 8 по (1/2 на степен t/30). Всъщност тук дори не ми трябват тези скоби. Това е друг начин да опишем А(t). И колко е А(150)? А(150) ще е равно на 8 по 1/2 на степен 150/30. Това е просто 5. 1/2 на степен 5. Колко е 1/2 на степен 5? Това е 1 на пета върху 2 на пета или 1/32. Това тук е 1/32, което е равно на 8 върху 32, което е равно на 1/4, или 0,25. Използвайки приблизителната стойност за r, получихме 0,24, когато вдигнахме на степен 150. Това е доста използване на приблизителното изчисление. Взимаме 150 от тези и ги умножаваме, но това не е твърде далеч от реалната ни стойност. И искаха от нас да използваме закръглената стойност. Но ако използвахме прецизната стойност, точната стойност, щяхме да получим 0,25 бекерела.