Тълкуване на изменението при експоненциални модели

Направих няколко екранни снимки на упражнението на Кан Академия "Разбиране на скоростта на промяна за експоненциални модели по отношение на промяната". Може би ще сменят заглавието. Изглежда малко твърде дълго. Но нека се опитаме да решим това заедно. "На първия ден от пролетта цяло поле цъфтящи дървета разцъфва. Популацията на скакалците, изяждащи тези цветове, бързо се повишава, когато дърветата разцъфват. Отношението между изминалото време t, в дни, от началото на пролетта и общия брой скакалци, L(t)..."– броят скакалци ще е функция на броя дни, които са изминали от началото на пролетта – "е представено чрез следната функция." Скакалците като функция на времето ще са 750 по 1,85^t. "Довърши следното изречение за дневната скорост на промяна на популацията на скакалците. Всеки ден популацията на скакалците..." Ще помислим какво ще се случва всеки ден. Ще начертая малка таблица, просто за да направя нещата по-ясни. Ще начертаем малка таблица. Ще нанесем t и L(t). Когато t е 0, тоест когато са изминали 0 дни, това ще е 1,85^0, което просто ще е 1. В началото ще имаш 750 скакалеца. После, когато t е 1, какво ще се случи? Тогава това ще е 750 по 1,85^1. Това ще е по 1,85. Колко е L(t), когато t е 2? Това ще е 750 по 1,85^2. Това е същото нещо като 1,85 по 1,85. Забележи – и това просто произлиза от факта, че това е показателна функция – Всеки ден имаме 1,85 пъти повече, отколкото сме имали предния ден. 1,85. Взимаме това, което имахме предния ден, и го умножаваме по 1,85. След като 1,85 е по-голямо от 1, това ще увеличи броя на скакалците. Така че това ще нарасне. Не съм на уебсайта сега, но обикновено тук ще има спускащо се поле. Ще нараства"с множител"... Всеки ден ще нараства с множител 1,85. Нека направим още един пример. Добре. Тук ни казват: "Вера е еколог, който проучва скоростта на промяна в популацията на мечките в Сибир с времето. Отношението между изминалото време, t, в години откакто Вера е започнала да изучава популацията, и общия брой мечки, N(t), е моделирано от следната функция." Добре. Имаме още една показателна функция. "Довърши следното изречение за годишната скорост на промяна в популацията на мечките." Нека помислим за това. Всяка година, която изминава, t е в години, всяка година, която изминава, ще е 2/3 по предишната година. Мога да направя същата тази таблица, която направих, за да поясня това – така че нека го направя. Опа. Нека поясня това. Таблица. Това е t, а това е N(t). Когато t е 0, N(t) ще е 2187 мечки. Това е първата година, през която тя е започнала да изучава тази популация. 0 години, откакто Вера е започнала да проучва популацията. Първата година ще е 2187 по 2/3^1, тоест по 2/3. Втората година ще е 2187 по (2/3)^2. Това е просто 2/3 по 2/3. Всяка следваща година ще имаш 2/3 по популацията на мечките от предишната година. Умножаваш числото от предишната година по 2/3. Всяка година популацията на мечките намалява, намалява с множител 2/3. Нека направим още един пример. Тук ни казват: "Акиба започнал да изучава как броят клони на дървото му се променя с времето." Добре. "Отношението между изминалото време, t, в години, откакто Акиба е започнал да изучава дървото си, и общия брой на клоните му, N(t), е представено от следната функция. Довърши следното изречение за годишната процентна промяна в броя клони. Всяка година – празно място – процент(а) клони биват добавени/извадени от общия брой клони." Ще начертая друга таблица, въпреки че може да свикна с това и можеш да погледнеш и да кажеш, че всяка година ще имаш 1,75 по броя клони, които имаше предишната година. Имаме 1,75 по броя клони от предишната година, нарастваш със 75%. Нека направя това малко по-ясно. "Всяка година 75% от клоните биват добавени към общия брой клони." Ще начертая отново тази таблица, както направих в последните два примера, за да направя това ясно. Това е t и това е N(t). t е равно на 0 и имаш 42 клона. t е равно на 1, това ще е 42 по 1,75. По 1,75. Когато t е равно на 2, това ще е 42 по 1,75^2. 42 по 1,75 по 1,75. Всяка година умножаваш по 1,75. Нещо интересно става с химикала ми. Но ако умножаваш по 1,75 ако нарастваш с множител 1,75, това е същото като да добавиш 75%. Отново, добавяш 75%. Помисли за това по този начин. Ако току-що нарасна с множител 1, тогава не добавяш нищо. Оставаш със същата стойност. Ако нараснеш с 10%, тогава ще си 1,1 пъти по толкова. Ако нараснеш с 200%, тогава ще си 2 пъти по толкова. А това ето тук? Това тук е... Нека съм внимателен... какво казах току-що? Мисля, че направих грешка. Ако нараснеш с 200%, тогава ще си 3 пъти по толкова, колкото преди. 1 е константа и после още 200% ще е още 2 пъти по толкова, така че стане общо 3 пъти по толкова. Не искам да те обърквам. Умът ми разпозна, че казах нещо странно накрая. Надявам се, че това ти беше интересно.