If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:16:35

Видео транскрипция

"Триъгълник АВС е правоъгълен триъгълник, като АС е равно на 7; ВС е равно на 24 и правият ъгъл е в С." Нека опитам да начертая това. Нека начертая правият ъгъл. Може би трябва да използваме някои координати. Нека начертаем прав ъгъл в началната точка на координатната система. Да кажем, че това тук е С. АС е равно на 7, така че А ще е ето тук, това разстояние тук ще е равно на 7. После имаме хипотенузата на триъгълника. Това може да е В, това разстояние тук, ВС е равно на 24. Добре. Сега "Точката М е средната точка на АВ", тоест точка М е ето тук – нека направя това в различен цвят. Точка М е средната точка на АВ, тоест това разстояние е равно на това разстояние и "D е от същата страна на АВ..." "D е от същата страна на АВ като С." Тоест, С е от тази страна. Можеш да наричаш това ляво в дясната лява страна на АВ. "AD е равно на BD равно на 15." Тоест, D ще е някъде тук. Това ще е равно разстояние между а и b – те ще стоят на права, която изглежда ето така. Това е средната точка на ab, така че ще стоиш ето тук. Това е на отдалечено на 15 от двете. Така че а и b трябва да изглеждат ето така. Това разстояние ето тук е 15. После, това разстояние ето тук също ще е 15. "При положение, че площта на триъгълник CDM" – площта на триъгълник CDM и това е D, така че CDM е триъгълникът, за който искат да помислим. "При положение, че площта на триъгълник CDM може да бъде изразена като m по n на квадрат, върху p, където m, n и p са положителни цели числа, m и p са сравнително прости числа" – това означава, че не можеш да ги опростиш – "и n не се дели на квадрата на което и да е просто число," – радикалът е опростен колкото е възможно – "намери m + n + p." Казахме, че трябва да намерим площта на този зелен триъгълник, на CDM ето тук, така че нека видим какво можем да направим, за да я намерим. Можем да изпробваме някои от координатите на някои от тези точки. Тази точка ето тук – "А" – нейната х стойност ще е 7 – мога да начертая координатата, за да видиш какво правя. Това може да е х оста, а после тази страна е на оста у. Тоест, координатата за "А" ще е (7; 0). Координатата за С ще е (0; 0), а координатата за В ще е (0; 24). Координатата за М просто ще е средно аритметичното от В и А. Координатата за М – средно аритметичното на 0 и 7 е 7/2. А у координатата е – средно аритметичното на 24 и 0 е 12. Добре. Нека видим какво можем да намерим за тази страна. Знаем, че това е правоъгълен триъгълник, така че инстинктивната ни реакция е винаги да използваме Питагоровата теорема – тази страна и тази страна, така че ако искахме да намерим АВ, можем просто да кажем... просто знаем, че 24 на квадрат плюс 7 на квадрат е равно на АВ на квадрат. 24 на квадрат е 576 плюс 49 е равно на АВ на квадрат. Да видим, 576 плюс 49... ако беше плюс 50, това щеше да ни даде 626, но това е с едно по-малко, така че е 625. 625 е равно на АВ на квадрат. Така че АВ ще е равно на 25. Тоест, АВ е равно на 25. Това разстояние, разстоянието на тази голяма хипотенуза тук е 25. Или, половината от разстоянието – това ще е 25 върху 2 от В до М, а М до А също ще е 25 върху 2. Другото нещо, което знаем... другото нещо, което знаем, е че М ето тук, триъгълникът СМА е равнобедрен триъгълник. Как знаем това? Ако погледнеш х координатата на М, тя е директно между х координатите за С и А. Тя е 7/2. Тя е средно аритметичното. Това е 7, това е 0. х координатата е директно над средната точка от тази основа ето тук. Така че това ще е хубав равнобедрен триъгълник – можеш да преобърнеш триъгълника. Тази дължина изглежда полезна, понеже е основата на площта на триъгълника, който ни интересува. Можеш да разгледаш това като основата на CDM. Това също ще е 25/2. В равнобедрения триъгълник това ще е същото като това, понеже са симетрични около това ето тук. Знаем една от страните на този триъгълник. Да видим дали можем да открием тази страна ето тук, изглежда доста лесно. Това ще е правоъгълен триъгълник, понеже тази права от D до М ще е перпендикулярна на АМ. Всички точки, които са равноотстоящи между А и В ще се на права, която е перпендикулярна на АМ. Това ще е правоъгълен триъгълник, така че можем да намерим DM, използвайки отново Питагоровата теорема. Получаваме 25/2 на квадрат... 25/2 на квадрат плюс DM на квадрат... плюс DM на квадрат е равно на 15 на квадрат, е равно на хипотенузата на този триъгълник. Така че това ще е равно на 225. 225. Какво получаваме? Получаваме, че DM на квадрат... DM на квадрат е равно на 225 минус 625 върху 4. 225 върху 4...или 225 с 4 за знаменател В последното видео по погрешка е същото като 900 върху 4. В последното видео по грешка казах, че 900 върху 4 е 125. Глупава грешка. Но числото отново се появява. 225, това е 900 върху 4, после ще извадим от това 625 върху 4. Минус 625 върху 4. Това е равно на в числителя имаме 900 минус 625, а това ще е 300 минус 20 е 275... 275 върху 4. Тоест, DM ще е равно на корен квадратен от това; равно е на корен квадратен от 275 върху 4. 275 е 25 по 11, понеже 25 по 12 ще е 300. 25 по 11 или 4... така че това ще е равно на 5 по корен квадратен от 11 върху 2. DM е 5 корен квадратен от 11 върху 2. Сега, ако можем да открием... Трябва да открием височината на този триъгълник тук. Ако можем да открием височината на този триъгълник, тогава сме готови. 1/2 по основата по височината... Можем да открием това, ако знаем косинуса, можем да направим нещо ето тук. Ако знаем синусът на този ъгъл ето тук, ако знаем синуса на този ъгъл, ако знаем синуса на този ъгъл ще е тази височина върху страната, която току-що открихме. Ако можем да намерим синуса на този ъгъл, тогава ще сме готови или ще сме много близо до края. Няма очевиден начин, но едно нещо, което можем да направим, ако погледнеш този по-голям триъгълник ето тук...подчертах го. Ако погледнеш триъгълник ВМС.... Нека начертая триъгълник ВМС. Просто ще го начертая ето тук. Не искам да претрупвам това. Триъгълник ВМС ето тук. Знаем тази страна – тя е 25/2 – знаем тази страна ето тук. Тя е 25/2. Знаем тази страна ето тук, тя е 24. И знаем това, така че трябва да намерим синуса на този ъгъл ето тук, ъгъла на тита, на ъгъл СМD. Това е трудно, но можем да използваме, разбира се, ъгъл тита плюс 90. Нека начертая нашия триъгълник. Триъгълник ВСМ – мога да го начертая така. Мога да го начертая – всъщност, това е равнобедрен триъгълник. Имаме В, С, М. Какъв е този ъгъл ето тук? Той ще е тита, която ни интересува, плюс 90 градуса. Този ъгъл тук е тита плюс 90 градуса. Това ето тук е 24. Това е 25 върху 2. И това е 25/2. Като използваме това, можем да направим много косинуси, за да открием на колко е равна тита тук. Нека направим това. Включваме малко тригонометрични тъждества, но получаваме, че противоположното на ъгъла на квадрат, тоест, 24 на квадрат... 24 на квадрат е равно на 25/2 на квадрат плюс 25/2 на квадрат.... плюс 25/2 на квадрат минус 2 по 25/2... по 25/2. По косинуса на този ъгъл. Нека преместя настрани. По косинуса на тита плюс 90 градуса. Сега си казваш: "Ей, Сал, с косинуса на тита плюс 90 градуса как можем да открием страната на тита, което всъщност ни интересува, за да открием площта на този триъгълник, за да открием височината на този триъгълник?" За да направиш това, просто трябва да осъзнаеш, че знаем тригонометричното тъждество, че косинусът на тита е равно на...че косинусът на х е равен на синуса от 90 минус х. Тоест, косинус тита плюс 90 градуса... Косинусът на тита плюс 90 градуса ще е равен на синус от 90 минус тита минус 90. Което е равно на – числата 90 се изключват взаимно – синус от -тита – и знаем, че синус от -тита е равен на отрицателния синус на тита. Това тук се опростява до – това е отрицателният синус тита, тоест, тук можем да запишем синус тита, а после да поставим отрицателния знак тук и това става положително. До какво се опростява това? 24 на квадрат, което е 576, 576 е равно на, да видим, имаме – не искам да пропускаме стъпки тук – имаме 25 на квадрат плюс 25 на квадрат, това е 2 по 25; това е 2 по 25 върху 2, на квадрат. Плюс 2 по... това е 25/2 на квадрат отново, така че 2 по 25/2 на квадрат. По синус тита. Сега трябва да намерим синус тета. Това ще е равно на... 576 е равно на 2 по 25/2 на квадрат. Просто разделям това на членове. 1 плюс синус тита... 1 плюс синус тита или можем просто да разделим двете страни на това уравнение на – всъщност, нека опростя. Това нещо ето тук е 625 върху 4. После ще умножим това по 2, така че това ето тук е 625 върху 2. Нека разделим двете страни на това на 625 върху 2 и получаваме 576 по 2 върху 625 – умножаваме двете страни по обратно пропорционалното – е равно на – и умножаваме двете страни по това, тези се изключват взаимно. Е равно на 1 плюс синус тита или синус тита – извадихме 1 от двете страни и получаваме синус тита е равно на 576 по 2. 576 по 2 е 152 по 1000, така че това е 1152 върху 625 – това е тази част тук – минус 1, вместо 1 нека кажем 625 върху 625. Минус 625... Това е равно на – ще трябва да направя изчисленията встрани – 1152 минус 625, получаваш 12, това става 4, 12 минус 5 е 7, 4 минус 2 е 2, 11 минус 6 е 5. Това е равно на 527 върху 625. Може да не осъзнаеш, че сме близо до финала. Нека начертая този триъгълник CDM, върху който е фокусирана задачата. Нека го начертая малко по-различно. Нека го начертая малко по-различно. Сега знаем някои много интересни неща за CDM. Това е С, това е D, а това е М. Знаем тази страна ето тук. Открихме, че е 5/2 корен квадратен от 11. 5/2 по корен квадратен от 11. Това е дължината на DM. Също знаем, че СМ ето тук е 25/2. Също знаем, че синус тита тук... Също знаем, че синус тита е равен на 527 върху 625, това намерихме току-що. Можем да използваме това, за да намерим височината на този триъгълник. Понеже знаем, че синусът е противоположната страна върху хипотенузата, ако начертаем правоъгълен триъгълник тук. Тоест, синус тита, което е 527 върху 625, е равен на противоположната страна...равен е на височината на този триъгълник върху хипотенузата. 5/2 корен квадратен от 11. Можем да умножим двете страни на това на 5/2 по корен квадратен от 11. Получаваме, че височината на този триъгълник е равна на 527 върху 625 по 5 върху 2 по корен квадратен от 11. Да видим, можем да делим. 625 делено на 5 е 125. Получаваш 1 тук и 125 ето тук. Това е равно на 527 корен квадратен от 11 върху 125 по 2, което е 250. Това е височината. Площта на триъгълника е 1/2 основата по височината. Площта е равна на 1/2 основата, която е 25/2, по височината, която току-що намерихме, че е 527 корен квадратен от 11 върху 250. 25 в числителя делено на 250 в знаменателя... тук получаваш 10, така че това е равно на 527 корен квадратен от 11 върху 2 по 2 по 10, което е 40. Това е площта. Не искаха от нас да намерим площта. Искаха да намерим m + n + p. m + n + p. Общо взето, искаха да намерим 527 плюс 11 плюс 40. 527 плюс 11 плюс 40. 527 плюс 11 е – нека опитам да направя това – 538, а после плюс 40, това е 578. И сме готови.
Кан Академия – на български благодарение на сдружение "Образование без раници".