Интересна тригонометрична задача: аритметична прогресия

Ако ъглите A, B и C на един триъгълник са в аритметична прогресия и ако a, b и c – малки букви, обозначават дължините на страните, срещулежащи на ъглите със съответните главни букви – А, В и С, каква е стойността на този израз? Да видим дали можем да го решим. Нека начертаем триъгълника, за да видим нагледно какво показват тези букви. Имаме ъглите A, B и C. Нека да ги начертая така. Имаме ъглите А, В и С, а срещулежащите им страни са обозначени със съответните малки букви. Срещу ъгъл А лежи страна а, страната срещу ъгъл В е b, а страната срещу ъгъл С е малко с. Първата информация, която имаме, е, че ъглите на триъгълника – А, В и С, са в аритметична прогресия. Аритметичната прогресия представлява просто последователност от числа, разликата между всеки две съседни от които е една и съща. Нека разгледаме някои примери. И така, 1,2,3 – това е аритметична прогресия. 2, 4, 6 – аритметична прогресия, с разлика 2 между съседните числа. Мога да напиша 10, 20, 30 – също аритметична прогресия. Всички тези са аритметични прогресии. Следователно смисълът е, че разстоянието от ъгъл A до ъгъл B, колкото и да е голямо то, е същото като разстоянието от ъгъл B до ъгъл C. Това какво ни казва за тези ъгли? Или може би нищо не ни казва... Ако имаме ъгъл А и после имаме ъгъл В, можем да кажем, че В е равен на А плюс някаква константа, която не знаем каква е. Тя може да е 1, 2 или 10. Ние не знаем каква е, затова записваме А+N. Тогава С ще бъде равен на B+N, което ще е същото като... B е равен на A+N; тогава това ще бъде А+N+N, което е равно на А+2N. Какво ни казва това? За трите ъгъла в един триъгълник знаем още, че се допълват до 180 градуса. Следователно сборът от това, това и това трябва да бъде 180 градуса. Имаме A плюс А плюс N плюс A плюс 2N ще бъде равно на 180 градуса. Имаме едно, две, три А-та тук, следователно ще получим 3 пъти A плюс едно N и още 2N: 3А плюс 3N е равно на 180 градуса. Или можем да разделим и двете страни на 3 и да получим А+N равно на 60 градуса. Какво ни казва това? 'А' може да има всякакви стойности. Ако N е 1, A ще бъде 59; ако N е 10, A ще бъде 50. Така че това не ни дава много информация за ъгъл А. Но, ако погледнеш тук горе, виждаш ли някъде A+N? Виждаш го ето тук. B е равно на A+N, а ние току-що открихме, че A+N трябва да е равно на 60 градуса, така че това е първата информация, която може да ни послужи. 'В' трябва да е равно на 60 градуса и можем да го докажем с поредица от числа. Те могат да бъдат 59, 60, 61. Това е аритметична прогресия. Отново В стои посредата между тях. Те могат да бъдат 50, 60 и 70; или 40, 60 и 80. Но без значение каква е аритметичната прогресия, за да бъде сборът от тези ъгли 180 градуса, този по средата трябва да бъде равен на 60 градуса. Справяме се прекрасно дотук, затова нека видим какво можем да направим в следващата част на задачата. Опитвам се спестя място на екрана. Добре. От нас се иска да намерим стойността на израза 'a' върху 'c' по синус от 2С – голямо С, плюс 'c' върху 'a' по синус от 2A. Нека го запиша. Ще го оцветя в синьо. 'a' върху 'c' по синус от 2 по С голямо плюс 'c' върху 'a' по синус от 2 по А голямо. На колко ще е равно това? Винаги, когато видим нещо подобно – имаме 2 тук и 2 тук, най-доброто, което можем да направим, е да експериментираме с нашите тригонометрични тъждества и да видим дали няма да получим нещо полезно. Ето малка подсказка – първата част на задачата ни помогна да намерим на колко е равен ъгъл В. Но в израза тук няма В. В момента тази информация изглежда не ни трябва. Но ако можехме да свържем това някак с В, тогава щяхме да имаме напредък, защото знаем информация за ъгъл В. Да видим какво можем да направим. Първото нещо, което ще използвам, е синус от 2А. Нека да пренапиша всяко от тези. Синус от... Синус от 2 по каквото и да е, е същото като... Това е така наречената формула за удвоен ъгъл. Може би греша, забравил съм истинските им имена. Синус от 2 по нещо е равно на 2 по синус от това нещо, по косинус от същото нещо... Ще видиш това във всеки учебник по тригонометрия на вътрешната корица, дори в много учебници по висша математика. Нека го пресметнем за това нещо ето тук. И така, синус от 2А ще бъде равно на 2 синус от А по косинус от А. Това е стандартно тригонометрично тъждество. Нека го докажем в тригонометричен смисъл. Мисля, че вече сме го правили неколкократно. Имаме отпред нашите коефициенти, имаме 'a' върху 'c' по това, плюс 'c' върху 'a' по това. Има ли нещо, което можем да направим и да не забравяме, че имаме да използваме информацията: В е равно 60. Ако по някакъв начин включим това под формата – да имаме В тук... Когато разсъждаваме как да сложим В тук, се сещаме, че в един триъгълник имаме отношения на страните. Особено когато това не е правоъгълен триъгълник, важат синусовата и косинусовата теорема. Нека да го запиша тук, за справка. Съгласно синусовата теорема, синус от А върху 'а' е равно на синус от В върху 'b', което е равно на синус от С върху 'с'. Изглежда, че можем го използваме. Нека си припомним и косинусовата теорема, за всеки случай. Тя гласи, че 'с' на квадрат... Би изглеждала точно като питагоровата теорема, с малко адаптиране. И така, 'с' на квадрат е равно на 'а' на квадрат плюс 'b' на квадрат минус 2аb по косинус от С голямо. Това са синусовата и косинусовата теореми. Нека, ако можем, да използваме някак и двете, за да свържем тези с В, за което имаме информация. Първо нека да... Мога да го пренапиша така: това е синус от С върху 'с', а това е синус от А върху 'а'. Да го направим така. Имам 2а по косинус от С. Нека да го запиша отделно. Това е 2а по косинус от главно С и после по синус от С върху 'с'. Синус от главно С върху малко 'с' – това са този и този член тук. Към това прибавяме... Нека да направя същото тук. Имам 2 по... Ще разделя тези двете. Всъщност искаме да намерим синусите, затова ще отделя това и това. И получаваме плюс 2с по косинус от А по синус от голямо А върху малко 'а'. С какво ми помага това? Да разгледаме синусовата теорема. Имаме синус от С върху 'с' – ето това тук. После имам синус от А върху 'а' – ето това тук, голямо А върху малко 'а'. И двете са равни на синус от В върху 'b', така че имаме напредък – започнахме да включваме В в уравнението. А за него имаме информация. Следователно това може да се пренапише като синус от В върху 'b', Това също е синус от главно В върху малко b, като и двете се умножават по това – 2а по косинус от главно С по това, плюс 2c. Това е малко 'с'. Косинус от главно А по това. Можем да изкараме пред скоби синус от В върху 'b'. Това е същото като 2а... Вече имам усещането каква ще е следващата стъпка, затова да оставим място тук. 2a по косинус от C плюс това – тези се умножават – ще оставя малко пространство; плюс 2с по косинус от А. И цялото това по синус от В върху 'b', а ние вече знаем, че В е равен на 60 градуса. Вече можем да го изчислим доста лесно, но нека продължим, за да видим дали можем да намерим връзката между това тук и 'b'. Тук имаме 2a по косинус от C, 2c по косинус от A... Изглежда доста близко, всеки от тези членове изглежда доста близко до тази част от косинусовата теорема, затова нека да решим за тази част от уравнението. Да видим какво можем да направим. Ако добавим 2ab по косинус от C към двете страни, получаваме 2ab по косинус от главно С плюс 'с' на квадрат, равно на 'а' на квадрат плюс 'b' на квадрат. Ако пък извадим 'с' на квадрат и от двете страни, получаваме 2ab по косинус от главно С, равно на 'а' на квадрат плюс 'b' на квадрат минус 'с' на квадрат. Това е интересно, а знаем, че можем и да разменим буквите, но това изглежда доста близко до това. А това изглежда много близко до това, с изключение на факта, че тук имаме 'а', вместо 'с' – току-що разменихме буквите. Можем да го пренапишем, всъщност нека го пренапишем. Можем да пренапишем това тук като 2cb – не да го пренапишем, просто да разменим буквите – по косинус от A. Тук разменихме 'а'-тата и 'с'-тата и става равно на 'с' на квадрат плюс 'b' на квадрат минус 'а' на квадрат. По отношение на страните няма нищо особено, мога да го направя с всяка от страните. Това тук е главно С, а отпред имаме 'а' и 'b', след това имаме 'а' на квадрат плюс 'b' на квадрат минус малко 'с' на квадрат. Ако имаме главно А, отпред ще излезе cb и ще извадим 'а' на квадрат оттук. Това е полезно, защото този член изглежда почти като този тук, ако просто умножим това по 'b'. Нека да го направим. Можем да умножим това по 'b'. Нека умножим целия числител по 'b'. Ако го направим, какво получаваме? Получаваме 'b' тук, и 'b' тук. Разбира се, ако умножим един израз по 'b', това ще промени неговата стойност. Това, което можем да направим, е да умножим израза по b – направихме го току-що – разпределихме 'b' тук, но трябва и да разделим на 'b', разделям на 'b'. Това е еквивалентно на умножаването на числителя тук, не 'b' на квадрат, еквивалентно е на умножаването на числителя тук по 'b'. Умножаваме по 'b', делим на 'b'. Едно и също е. Просто превръща това в 'b' на квадрат. Какво ни дава това? Имаме ето този член тук, който представлява точно същото като този там и това е равно на 'а' на квадрат плюс 'b' на квадрат минус 'с' на квадрат. А ето този член тук е същото нещо като това тук, което пък е същото като това. Използваме косинусовата теорема и става 'с' на квадрат плюс 'b' на квадрат минус 'а' на квадрат и после всичкото това по синус от В голямо върху 'b' на квадрат. Какво ни дава това? Имаме 'а' на квадрат и '-а' на квадрат. Нещата започват да се опростяват. Съкращаваме 'а' на квадрат и '-а' на квадрат, '-с' на квадрат и 'с' на квадрат. Какво ни остава? Остава ни 2 по 'b' на квадрат. Следователно целият израз се е опростил до 2 по 'b' на квадрат, по синус от голямо B, върху малко 'b' на квадрат. Тези двете се съкращават и изразът се свежда до 2 по синус от B. А ние знаем още от началото, че В беше 60 градуса, следователно това е равно на 2 по синус от 60 градуса. Ако не помниш колко е синус от 60 градуса, винаги можеш да го намериш в триъгълника от вида 30-60-90. Ще го начертая. Това е правоъгълен триъгълник, това е 60 градуса, хипотенузата е с дължина 1, защото работим с единичната окръжност. Този ъгъл е 30 градуса, срещулежащата страна на ъгъла от 30 градуса е 1/2, срещулежащата страна на ъгъла от 60 градуса е квадратен корен от 3 по това, т.е. квадратен корен от 3 върху 2. Можем да използваме и питагоровата теорема. Когато знаем едното, можем да намерим другото. Синус е срещулежащ към хипотенуза – квадратен корен от 3 върху 2 върху 1. Или просто квадратен корен от 3 върху 2, което е равно на 2 по... На финалната линия сме, много вълнуващо! Квадратен корен от 3 върху 2, тези се съкращават и остава квадратен корен от 3. Чудесна задача! Ако ти е любопитно, взехме я от конкурсния изпит за прием в инженерните и научни специалности в университетите в Индия от 2010 г. Най-добрите от стотици хиляди деца – най-добрите 2000 може би, влизат в тези университети. Просто реших, че това е много хубава задача.