If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:8:21

Четност, нечетност и периодичност на тригонометричните функции

Видео транскрипция

От нас се иска да определим амплитудата и периода на у = -1/2 cos 3x. Първият въпрос, който трябва да си зададем, е какво представлява амплитудата. Амплитудата на една периодична функция е половината от разликата между нейната минимална и максимална стойност. Следователно, ако начертая една функция като тази, ако започна да се движа нагоре-надолу... Нека го начертая малко по-добре. Движението е между две стойности ето така, т.е. между тази и тази стойност. Взимаме разликата между двете и половината от това е амплитудата. Амплитудата може да се разглежда и като колко се отклонява функцията от средната си позиция. Тук имаме у = -1/2 cos 3x. Каква ще бъде амплитудата на това? Най-лесно можем да отговорим, като видим с какво умножаваме функцията косинус. Същото можем да направим, ако имаме функцията синус. Това, с което умножаваме, е -1/2. Следователно амплитудата в случая ще е равна на абсолютната стойност на -1/2, която е 1/2. Вероятно ще попиташ защо пренебрегвам знака? Защо взимам абсолютната стойност? Минусът просто обръща графиката. Той не променя отклонението между точките на минимум и максимум. Освен това, защо точно абсолютната стойност на това тук (-1/2)? За да го разбереш, трябва просто да си спомниш, че една функция косинус (или синус) варира между 1 и -1, ако е проста функция. Следователно просто умножаваме това (-1/2) по 1 или -1. Следователно, ако нямаме коефициент тук, т.е. ако коефициентът е 1 или -1, амплитудата ще бъде просто 1. Сега я променяме – умножаваме я с това число. Амплитудата става 1/2. Сега да помислим за периода. Първото нещо, което искам да те попитам, е към какво се отнася периодът на една циклична – или трябваше да кажа периодична – функция? Към какво се отнася периодът на една периодична функция? Нека начертая няколко оси на тази графика тук. Да кажем, че това ето тук е оста у (Оу). Нека кажем също че това тук е оста х (Ох). Периодът на периодичната функция е дължината на най-малкия интервал, който съдържа точно едно повторение от модела на тази графика. За какво става дума? Кое се повтаря? Отиваме надолу и нагоре ето така. После отиваме надолу и после нагоре. Дължината на най-малкия интервал, в който се съдържа точно едно повторение от модела. Това може да е едно от най-малките повторения на модела, а дължината между тези двете ще бъде един период. Ако се придвижим от тук до тук, е друг период. Повтарящите се части са много – тази не е единствената. Можеш да избереш своя модел, като започнеш от тук, отидеш нагоре и после се спуснеш надолу. И това да е най-малката дължина. Тогава ще видиш, че ако се движиш в отрицателна посока, следващото повторение на модела ще е ето тук. Но и в двата случая ще имаш един и същи интервал на повторение на този модел. Като знаеш това, какъв е периодът на функцията тук? За да намерим периода, взимаме 2π и делим на абсолютната стойност на коефициента ето тук. Делим на абсолютната стойност на 3, която е 3. Получаваме 2π върху 3. Да помислим защо това ни върши работа? Ако разглеждаме една традиционна косинус или синус функция, тя ще има период от 2π. Ако помислиш за единичната окръжност, ако тръгнем от 0, 2π радиана по-късно сме отново в началната точка. Още едни 2π радиана и отново сме в началната точка. Ако се движим в отрицателна посока, след -2π отново сме в началната точка. За всеки ъгъл тук, след 2π, отново се връщаме в началото. Придвижваме се -2π и се връщаме, където бяхме. Следователно периодът тук е 2π. Това има смисъл, защото този коефициент тук те води към 2π или отрицателното – в случая -2π – води те към стойността 2π доста по-бързо. Следователно периодът ще бъде по-малко число, по-малка дължина. Ще стигнеш до 2π три пъти по-бързо. Може би ще попиташ защо използваме абсолютната стойност тук? Ако това беше отрицателно число, щеше да стигнеш до -2π много по-бързо. Но във всеки случай ще завършиш един пълен цикъл. Като имаме предвид това, нека отбележим тези две неща. Да начертаем -1/2 cos 3x. Ще начертая осите тук. Най-сполучливият ми опит. Това е Ох. Това е Оу. Нека начертая още... Това тук е 0. х е равно на 0. Ще сложа и х, което е равно на +1/2. Ще го начертая тук. х е равно на +1/2. Не сме преместили тази функция нагоре или надолу; ако поискаме, можем да добавим една константа към косинус функцията тук. Но това е 1/2 със знак плюс или просто 1/2. Нека приемем, че това долу е -1/2. Нека начертая това. Чертая прекъснати линии, защото ми е по-лесно. Какво става, ако това е 0? Косинус от 0 е 1. Но ние ще го умножим по -1/2. Затова тук ще имаме -1/2. И тогава графиката на функцията ще тръгне нагоре. Може да тръгне само в тази посока. Ще нарасне, после отново ще намалее. След това ще се върне в изходна точка ето тук. Въпросът е какво е разстоянието. Каква е дължината? Знаем какъв е периодът. Той е 2π върху 3. Ще премине през тази точка три пъти по-бързо отколкото при традиционната косинус функция. Това ще стане 2π върху 3. Ако добавим още едно 2π върху 3, ще се върне отново в същата точка. Ако добавим още едно 2π върху 3, ще стане 4π върху 3, и ще завършим още един цикъл. Тази дължина тук е периодът. Можем да направим същото и в отрицателната посока. Тогава това тук ще е отрицателно – -(2π върху 3). А амплитудата ще изобразим, като добавим 1/2. Можем да разсъждаваме по два начина. Разликата между точките на максимум и минимум е 1. Половината е 1/2. Или можем да кажем, че се отклонява с 1/2 от средата в положителна или отрицателна посока.
Кан Академия – на български благодарение на сдружение "Образование без раници".