Трансформиране на синусоидални графики: вертикално и хоризонтално мащабиране

От нас се иска да начертаем графика на функцията у, равно на 2,5 по косинус от 1/3х за интервала от 0 до 6π, като крайните точки са включени. Ще опитам да начертая това възможно най-добре. Като начало, ще направя най-простата функция или най-простата версия на това, което е просто cos(x). Нека нанеса тази функция – cos(x). Това е оста у. И искам да си оставя малко място тук, за да мога после да нанеса всичко останало. Да кажем, че това е -1, а това е -2. Това е 1, това е 2. И да кажем, че тук е 2π. И тогава, разбира се, π ще е тук. Сега, първо искам... Нека копирам това, защото мога да го използвам по-късно, когато нанасям всичко останало. Започваме. Ще нанеса само у=cosx. Така, когато х е равно на 0; ще гледам само интервала от 0 до 2π, очевидно, това е периодична функция, ще се движа в положителна и отрицателна посока. Така, какво става, когато х е равно на π? Колко е косинус от х? Косинус от 0 е 1. А когато х е равно π? Колко е косинус от π? Косинус от π е минус 1. А колко е косинус от 2π? Ами, това отново е 1. Връщаме се – изминали сме един пълен цикъл или един период. И 2π е периодът на косинус от х. Значи тук имаме един пълен период. Мога да продължа нататък, но просто исках да нанеса един период от 0 до 2π. Сега искам да помисля какво става с тази графика. Вместо да нанасям у=cosx... Нека сложа още една координатна система. Вместо да нанасям у=cosx, ще нанеса у=cos1/3х. Единствената разлика между това и това е, че сега умножавам х по 1/3. Какво ще стане с графиката? Как ще се промени това, ако вместо х, имам 1/3х? Какво ще стане тук? Сега ще направя това за целия интервал от 0 до 6π. Трябва да съм сигурен, че имам достатъчно място. Така, това е 3π, 4π, 5π и 6π. Какво ще стане с тази графика? Можем да помислим за това по два начина. Най-лесно е да си кажем, че за да изпълним един пълен цикъл, ще се движим 1/3 пъти по-бързо. С други думи ще се движим три пъти по-бавно. Или ако просто искаме да мислим за периода, какъв е периодът на cos1/3х? Периодът ще е 2π, делено на абсолютната стойност на ето този коефициент. Значи абсолютната стойност на 1/3, което си е 1/3. Тогава периодът е 2π, делено на 1/3, което е същото като 2π по 3, което е 6π. Това отговаря на интуицията. Ще ни отнеме 3 пъти повече време, за да може това, което въведем във функцията косинус, да се върнем до 2π. Защото за всяко въведено х, сега взимаме 1/3 от него. За да достигнем 2π, не можем просто да вземем х=2π. Сега х трябва да е равно на 6π, за да може 2π да бъде въведено във функцията косинус. Значи периодът сега е 6π. При х, равно на 0, 1/3 по 0 е 0 и косинус от 0 е 1. Когато х е равно на 6π, имаме 6π, делено на 3, което е 2π. Косинус от 2π е равно на 1. Ако искаш да опитаме с нещо междинно, можем да вземем π. А тук можем да вземем 3π. Когато х е 3π, имаме косинус от 1/3 от 3π което е косинус от π. Косинус от π е -1. Когато х е равно на 3π, имаме косинус от 1/3 от 3π, което е минус 1. Това ще изглежда горе-долу така. Опитвам да го начертая колкото мога по-добре. Ще изглежда ето така. Виждаме, че за да отидем от у=cosx до у=cos1/3х, графиката на функцията се разтегне 3 пъти. Можем да видим, че този период е 3 пъти по-дълъг. Периодът тук беше 2π. Така, остава още само една трансформация, за да достигнем до функцията, за която ни питат. Вместо косинус от 1/3х, трябва да имаме -2,5 по косинус от 1/3х. Да опитаме да начертаем това. Нека пак сложите осите тук. И да ги означа. Това е 2π, 3π, 4π, 5π, 6π. И сега целта ни е да начертаем графиката на у, равно на... И правим това само за интервала от 0 до 6π. Тук го направихме само за от 0 до 2π. Всички графики са очевидно периодични, повтарят се. Но сега искаме да начертаем графиката на у, равно на -2,5 по косинус от 1/3х. С тази промяна сега умножаваме по -2,5, което ще бъде... всъщност нека помислим за някои неща. Каква беше амплитудата на първите две графики ето тук? Можем да помислим за това по два начина. Можем да кажем, че амплитудата е половината от разликата между минималната и максималната точка, а и в двата случая, минималната точка е -1, а максималната 1; разликата е 2, половината от нея е 1. Можем също да кажем, че е абсолютната стойност на този коефициент, който е 1, а абсолютната стойност на 1 е 1. Каква ще бъде амплитудата на това нещо тук? Амплитудата ще е абсолютната стойност на това, по което умножаваме функцията косинус. Ще взема зелен цвят, амплитудата в този случай ще е равна на абсолютната стойност на -2,5, която е 2,5. Като знаем това, по какъв начин умножението с -2,5 ще промени тази графика? Нека помислим. Ако умножавахме по 2,5, графиката щеше да се разтегне. Във всяка точка тя щеше да се разтегне 2,5 пъти. Но имаме -2,5, значи графиката ще се разтегне и освен това ще стане симетрична спрямо оста х. Да направим това. Когато х беше 0, в този случай получавахме 1. Но сега ще умножим това по -2,5, което означава, че ще достигнем -2,5. Нека нанеса -2,5 ето тук. Така, това е -2,5. Нека изясня. Това тук ни е -3, а това е 3. Значи ето това число е -2,5. Нека начертая пунктирана линия тук. Може да ни бъде полезна. Сега, когато косинус от 1/3 е 0, няма значение по какво умножаваме, винаги ще получаваме 0 тук. Когато косинус от 1/3х беше -1, което беше при х, равно на 3π, какво ще се случи тук? Виждаме, че косинус от 1/3х е -1. -1 по -2,5 е 2,5. Значи ще отидем до плюс 2,5 – нека пак начертая пунктирана линия – ще отидем до плюс 2,5, което е ето тук. И после, когато косинус от 1/3 х е равно на 0, няма значение по какво го умножаваме, винаги получаваме 0. И накрая, когато х е при 6π, косинус от 1/3х е равен на 1. На колко ще бъде равно това, когато го умножим по -2,5? Ами, ще бъде -2,5. Значи ще се върнем обратно тук. Готови сме да си начертаем графиката. Ще взема пурпурен цвят, защото преди използвах този цвят. Ще изглежда ето така. Мога да начертая дебела линия. Значи ще изглежда така. Видя какво стана. Като сложихме 1/3 тук, графиката се разтегна. Периодът се увеличи 3 пъти. И после умножихме по -2,5 – ако умножим просто по 2,5, просто това се умножава. Но имаме и знак минус, значи не само увеличаваме амплитудата, но и я завъртаме спрямо х. Значи амплитудата ни тук в действителност е 2,5. Отклоняваме се с 2,5 от средната линия. Или можем да кажем, че разликата между минималната и максималната точка е 5, половината на което е 2,5. Но не умножаваме просто тази графика по 2,5. Ако умножим тази графика по 2,5, ще получим – ще опитам да чертая по-ясно; ще получим нещо, което изглежда така. Но тъй като имаме отрицателно число, трябва да направим симетричен образ спрямо оста х. И стигнахме дотук. Значи тази амплитуда е 2,5, но имаме симетричен образ на тази графика.