Тригонометрични текстови задачи: изразяване на дневна температура

През юни в Йоханесбург най-ниската дневна температура обикновено е около 3 градуса по Целзий, а най-високата дневна температура е около 18 градуса по Целзий. Обикновено температурите са посредата между най-високата дневна и най-ниската дневна в 10:00 часа преди обяд и в 10:00 вечерта. Температурите са най-високи след обяд. Напиши тригонометрична функция, която да показва модела на температурата (T) в Йоханесбург t часа след полунощ. Нека да помислим как би изглеждала графиката на цялото това. Да приемем, че това е оста на температурата в градуси по Целзий. Това е температурата... Всъщност, първо ще начертая две различни графики. Това е оста на температурата. А това тук е времето в часове. Следователно това е малко t - времето в часове и нека да помислим за температурния обхват. Най-ниската дневна температура е около 3 градуса по Целзий, а най-високата е 18 градуса. Следователно нека да отбележим тук 18, това тук е 3 градуса и можем да помислим за точката, разположена на равни разстояния от 18 и 3, която достигаме в 10:00 сутринта и в 10:00 вечерта. 18 плюс 3 е 21, делено на 2, е 10,5. Следователно средната линия на нашата функция ще минава през точката, съответстваща на 10,5 градуса по Целзий. Нека начертая средната линия. Графиката ще варира около това, ще се колебае около това тук. Най-високата дневна температура е около 18 градуса, а най-ниската дневна температура е около 3 градуса. Ето така. Следователно колебанието ще е около тази средна линия. Графиката ще достига най-ниските и най-високите точки. За да опростим нещата, тъй като достигаме 10,5 градуса в 10:00 сутринта и 10:00 вечерта, няма веднага да разгледаме поставения ни въпрос - за часа, по отношение на t часа след полунощ. Ще дефинирам нова функция. F(t), F от малко t, което ще е равно на температурата в Йоханесбург, като приемаме, че всичко се отнася до Йоханесбург. Температурата t часа след - ще кажа t часа след 10:00 сутринта. Причината да избера 10:00 сутринта е, защото знаем, че температурата е достигнала точно до средната линия в този час. t часа след 10:00 сутринта. Защото, ако искам да начертая графика на F(t) при t равно на 0, това означава, че е 10:00 часа сутринта. Това означава, че - така ни е зададено - сме посредата между най-ниската и най-високата дневна температура. А какъв ще бъде периодът на тази тригонометрична функция? След 24 часа се връщаме отново в 10:00 часа, следователно периодът ще бъде 24 часа. Задаваме 24 часа тук и тогава половината е 12 часа. Какво се случва след 12 часа? След 12 часа отново е 10:00 вечерта, когато сме отново посредата между най-ниската и най-високата дневна температура. И след 24 часа отново е 10:00 сутринта, следователно това ще са точки от графиката на F(t). Да помислим сега какво ще се случи, когато отидем по-нататък - когато започнем от 10:00 сутринта и продължим. Когато започнем от 10:00 сутринта и продължим, ни е дадено, че най-високите температури са следобед. Следобедът ще е това тук. Следователно ще се изкачим по температурната ос, като най-високата точка всъщност ще бъде посредата между тези двете - т.е. ще съответства на 6 часа след 10:00 сутринта, което е 4:00 следобед, т.е. това ще е температурата в 4:00 следобед. Така че ще начертая нашата крива ето така. Тя ще изглежда ето така. След това най-ниската точка... Сега сме 10:00 вечерта, отиваме 6 часа след 10:00 вечерта и стигаме до 4:00 следобед, където ще бъде най-ниската точка. Това означава, че ще достигнем най-ниската температура 18 часа след 10:00 сутринта, най-общо казано, точно тук. А кривата ще изглежда горе-долу така. Тоест дори преди още да опитаме да моделираме T(t), какъв израз можем да напишем... Очевидно кривата продължава и може да продължи дори часове преди 10:00 сутринта. Цикълът продължава до безкрайност. Какъв израз можем да напишем за F(t)? Отново те съветвам да спреш видеото на пауза и да помислиш. Може би ще си кажеш, че това може да бъде синус или косинус функция. Всъщност можеш да я представиш и по двата начина, но винаги е по-лесно да избереш най-опростения. Коя функция преминава през средната линия, когато аргументът е равен на 0? Синус от 0 е равен на 0 и, ако не сме преместили графиката нагоре или надолу, средната линия на синус функцията, без да сме я местили, преминава през 0. Синус от 0, 0 и после стойността се увеличава и графиката започва да варира ето така. Тоест синус изглежда подходящ избор за моделиране. Още веднъж - можеш да я моделираш и с двете, но имам усещането, че това ще е малко по-опростено. Нека сега да помислим върху амплитудата. До каква степен се отклоняваме, какво е нашето максимално отклонение от средната линия? Отклонението тук е 7,5 над средната линия. Тук отклонението е 7,5 под средната линия. Следователно нашата амплитуда е 7,5. Всъщност нека да го оцветя различно, за да видиш откъде идват нещата. Това е 7,5, това е 7,5, следователно нашата амплитуда изглежда е 7,5. А какъв е периодът? Вече го споменахме - периодът е 24 часа. Това разстояние тук е равно на 24 часа, в което напълно има смисъл - след 24 часа стигаме до същия момент от деня. Следователно ще разделим 2π на периода - делено на 24 по t. И, ако си спомняш... Хей, като разделим 2π на периода тук, можем да помислим каква стойност на t ни трябва. Когато t е равно на 0, целият аргумент на функцията синус ще бъде равен на 0 - това важи, когато сме тук. А когато t е равно на 24, целият аргумент ще бъде 2π. Това се равнява на една обиколка на единичната окръжност, ако мислим за зададената стойност на функцията синус. Почти сме готови. Ако трябва да го начертая, ще стане... Средната линия ще минава близо до нулата, но трябва да изместим всичко нагоре с 10,5 единици. Трябва да изместим всичко нагоре с 10,5 единици. Това е, успяхме да зададем модела, а можем и да го опростим малко, можем да представим това като π върху 12, вместо като 2π върху 24. Това тук обаче е моделът на изменението в температурата в Йоханесбург t часа след 10:00 сутринта. Не това се искаше от нас. От нас се искаше да решим за температурата t часа след полунощ. Колко ще бъде тогава T(t)? Ще трябва да изместим малко графиката. Нека да помислим. Ще го запиша. Това е T(t), решаваме за t часа след полунощ. Ще имаме същата амплитуда. Ще имаме същото отклонение от средната линия. Ще стане 7,5 по синус от... Би следвало да го пиша в един и същи цвят, за да видиш какво променям и какво не. По синус от - вместо 2π върху 24, ще напиша просто π върху 12. Вместо да запиша t, ще изместя t надясно или наляво. Всъщност можем да го местим и в двете посоки, защото това е периодична функция. Трябва да помислим докъде я изместваме. Следователно t ще бъде плюс или минус нещо ето тук. Ще я изместя... Плюс 10,5. Плюс 10,5. Това винаги е малко... Поне аз лично трябва да го обмисля по много различни начини, за да съм сигурен, че я измествам в правилната посока. В 10:00 часа сутринта сме в тази точка. Когато t е равно на 0, това е 0 часа след 10:00 сутринта. Но кога е 10:00 сутринта според тази графика? На тази графика 10:00 часа сутринта... Нека да го запиша така: 10:00 сутринта е 10 часа след полунощ. T(10), което е 10 часа след полунощ, трябва да е равно на F(0), защото тук аргументът показва часовете след 10:00 сутринта, тоест това е 10:00 сутринта. Това тук представлява температурата, температурата в 10:00 сутринта, а това тук, функцията главно Т, показва часовете след полунощ. Това също показва температурата в 10:00 сутринта. Тоест искаме Т(10) да е равно на F(0). Или, казано по друг начин, когато F(0)... Целият този аргумент е 0. Искаме целият този аргумент да е 0, когато Т е равно на 10. Как ще го постигнем? Това става t минус 10. Обърни внимание, че, ако сложим 10 тук, това цялото става 0. Това цялото става 0 и ни остава 10,5. При F(0) става същото - това цялото става 0 и остава само 10,5. Следователно T(10) е равно на F(0). Ако искаме да начертаем графиката, вече отговорихме на този въпрос. Ако сложим 10 тук, аргументът на синус функцията става 0, тези двете ще бъдат равни, но нека да го начертаем. Т(10) - чертаем голямо Т, Т(10). Това тук е 6, 12, да видим. Може би 10 ще бъде някъде тук. Т(10) ще бъде същото като F(0). Ще изглежда ето така и излиза, че всъщност просто сме изместили всичко надясно - надясно с 10 единици. В това има логика, защото 0 след... Независимо колко часа сме след 10:00 сутринта, ще са необходими още 10 часа, за да стигнем до същия момент след полунощ. Следователно, кривата ще изглежда... Това ще се измести с 10 единици и кривата ще изглежда горе-долу... Да видим. Това ще се измести с 10, следователно това ще бъде 16:00 часа... Ще изглежда горе-долу така. И, разбира се, ще продължи да се движи ето така. Трябва да изместим графиката надясно с 10 единици, трябва да заменим t с t минус 10, за да го направим ето по тази логика.