If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:12:49

Преобразуване на тригонометрични изрази

Видео транскрипция

Какъв е броят на стойностите на тита в интервала от -π/2 до π/2, като тези две точки не са включени, тъй като имаме кръгли скоби, такива, че тита да е различно от 'n по π върху 5', тоест да не се дели на π/5, за n, равно на 0, плюс или минус 1, плюс или минус 2 и тангенс от тита е равен на котангенс от 5 тита; както и синус от 2 тита е равно на косинус от 4 тита. Трябва да намерим броя на стойностите на тита, които удовлетворяват всички тези условия. Като начало, изглежда че ще трябва да решим за тита и да превръщаме между синус и косинус, което е същото, което правим с тангенс и котангенс. Ако си на изпит например или си под напрежение по някаква причина, не ти препоръчвам да доказваш наново основните тригонометрични тъждества, но аз винаги предпочитам да го правя с образователна цел. Затова нека начертаем правоъгълен триъгълник ето тук. Ако взимаш изпита IIT JEE, ти препоръчвам да си държиш повечето тригонометрични тъждества на една ръка разстояние. Но да кажем, че имаме правоъгълен триъгълник и да наречем този ъгъл тита. А този ъгъл тук ще е π/2 минус тита. Това е ако работим с радиани – тогава 90 градуса се равняват на π/2. Целият триъгълник е 180 градуса, което е π. Това е π/2, следователно тези двете заедно трябва да правят π/2. Следователно това е π/2 минус тита. Да помислим колко е косинус от тита. Косинус от тита... 'soh-cah-toa'. Да наречем страните a, b и c. Косинус от тита ще е равен на прилежащия катет... Нека запиша това – 'soh-cah-toa'. Косинус е прилежащ катет към хипотенуза. Следователно косинус от тита е b към c – прилежащ към хипотенуза. Какво друго е равно на b върху c? Ако погледнем от гледната точка на този ъгъл, b е срещулежащ катет. Следователно от гледната точка на този ъгъл, b върху c е срещулежащ катет към хипотенуза. Следователно b върху c е също така и синус от π/2 минус тита. Ето го първото ни основно тъждество тук – косинус от тита е равно на синус от π/2 минус тита. Можем да подходим и по другия начин и да използваме същата логика, за да получим, че синус от тита е равно на косинус от π/2 минус тита. Това ще ни е доста полезно, когато решаваме това уравнение тук. Можем да го използваме и за това уравнение, ако разпишем котангенс от 5 тита. Котангенс от 5 тита е същото като косинус от 5 тита върху синус от 5 тита. Което е също и 1 върху тангенса. Мога да превърна косинуса в синус, като използвам това тъждество тук горе. Това е синус от π/2 минус 5 тита върху косинус от π/2 минус 5 тита. Просто използвам това тъждество тук. И това е същото като тангенс от π/2 минус 5 тита. И тъй като накрая ще трябва да решим това уравнение и искаме да сме сигурни, че ще получим всички негови решения, нека си припомним, че като вземем тангенс от даден ъгъл... Ще начертая единичната окръжност, чертая осите. И да кажем, че този ъгъл тук е тита. Сигурно си спомняш, че тангенс от тита всъщност е наклонът на правата – тоест срещулежащ катет към прилежащ, което е наклонът на отсечката, представляваща радиус в единичната окръжност. Следователно този ъгъл тита ще има съвсем същия тангенс, както и ако добавим 180 градуса, или π, към него. Ако добавим π, получаваме тита плюс π. Следователно целият този ъгъл е тита плюс π. И тангенсът му ще бъде същият. Наклонът на радиуса ще е същият. Тоест можем да добавяме кратни на π към стойността на тангенса и ще получаваме съвсем същата стойност. Нека сложа някои кратни на π тук, за да сме сигурни, че ще получим всички решения. Сега, след като сме казали и записали това, можем да решим първото уравнение. После ще се притесняваме за другите ограничения. Тангенс от тита е равно на котангенс от 5 тита. Следователно можем да напишем, че тангенс от тита е равно на – вместо да пишем "котангенс от 5 тита", можем да напишем, че е равно на тангенс от π/2 минус 5 тита, плюс всички кратни на π. И този тангенс е равен на този тангенс – равни са. Получаваме тита е равно на π/2 минус 5 тита плюс n по π. И когато вземем тангенс от това, той ще е равен или на тангенс от същото, или можем да прибавяме кратни на π към него. Но сега трябва просто да решим това. Можем да добавим 5 тита към двете страни на уравнението. Получаваме 6 тита е равно на π/2 плюс n по π (плюс кратни на π). Делим двете страни на 6. Получавам тита е равно на π/12 плюс n по π върху 6. Или за да си улесним събирането, това е същото като π/12 плюс 2nπ върху 12 Това е същото като nπ върху 6 – просто умножих числителя и знаменателя по 2. И това е съвсем същото като (2n плюс 1) по π – цялото върху 12. И това са всички решения на първото ни уравнение. Да направим същото и с второто уравнение, да видим къде се припокриват в този интервал, и ще извадим всичко, което удовлетворява тези условия тук. Така, във второто уравнение, нека го запиша тук, имаме синус от 2 тита... Първо, на какво е равно косинус от 4 тита? Използвайки същата логика, косинус от 4 тита ще е равно на синус от π/2 минус тита. И, разбира се, когато взимаме синус или косинус, или всъщност което и да е тригонометрично тъждество или тригонометрична функция от какъвто и да е ъгъл, ще получаваме същата стойност при добавяне на кратни на 2π. Нека добавя кратни на 2π тук, за да сме сигурни, че ще намерим всички възможни решения. Ето на какво е равен косинус от 4 тита. О, трябва да внимавам – косинус от 4 тита не е равно на синус от π/2 минус тита – това ще е косинус от само тита; ако е косинус от 4 тита, ще имаме синус от π/2 минус 4 тита, плюс кратни на 2π, тоест плюс 2πn. Защото ако добавяме кратни на 2π, ще стигаме пак до същия ъгъл. Връщаме се към това уравнение ето тук. Получаваме синус от 2 тита е равно на косинус от 4 тита, което е същото като това тук – равно на синус от π/2 минус 4 тита плюс 2πn. Получаваме същата стойност. Нека сложим равно. 2 тита е равно на π/2 минус 4 тита плюс 2πn. Нека добавим 4 тита към двете страни на уравнението. Получаваме 6 тита е равно на π/2, това се маха, плюс 2πn. Нека разделим двете страни на 6. Получаваме тита е равно на π/12 плюс πn върху 3. Нали така? 2πn, делено на 6, е πn върху 3. Сега можем да подведем под общ знаменател, за да опростим нещата. Имаме върху 12, имаме това π; πn върху 3 е същото като 4nπ върху 12; или можем да запишем, че това е равно на (4n плюс 1) по π/12. Сега трябва просто да видим къде тези две решения се препокриват. Спомни си, че трябва само да намерим броя на решенията, а не самите решения. Ако мислиш бързо и можеш да правиш нещата наум, още тук можеш да помислиш колко такива решения ще имаме в интервала -π/2 и π/2 – това е нашият интервал за допустими решения според условието – между -π/2 и π/2, като не включваме тези две точки. И можеш да видиш, че всяко от тези е също и от тези решения. Защото няма значение на колко е равно n. Дори и n да е 2 пъти това, пак ще имаме еквивалентни решения. Тоест всичко, което удовлетворява това уравнение, удовлетворява и това уравнение. Значи просто броим колко решения имаме тук. За да стане всичко ясно, ще намеря всички решения, които удовлетворяват това уравнение, и ще видя колко от тях удовлетворяват и това уравнение. Но най-лесно е да преброим колко решения удовлетворяват това уравнение и ще сме решили задачата. Нека ги преброим, като започнем от n е равно на 0. При n равно на 0 – използвам това n тук горе – ако n е равно на 0, имаме просто π/12. При n, равно на 1, имаме 3π/12. Ако n е 2, получаваме 5π/12. И не може n да е равно на 3, защото ако n е равно на 3, това ще е 7π/12, което е по-голямо от π/2. Това е по-голямо от 6π/12, следователно не е решение. Можем също да вземем и отрицателни n. Ако n е минус 1, това става минус π/12. Ако n е минус 2, това става минус 3π/12. И ако n е минус 3, това става минус 5π/12. И не можем да отидем до n, равно на минус 4, защото тогава получаваме 7π/12, което е извън интервала ни. Това удовлетворява това уравнение тук горе. Сега, кои от тези се припокриват с тези? Да вземем n равно на 0 – получаваме π/12. Ако n е равно на 1, получаваме 5π/12. Не можем да вземем n, равно на 2, защото тогава ще излезем извън интервала – ще отидем след π/2. Ако n е равно на минус 1, получаваме минус 3π/12. Ако n е равно на минус 2, получаваме минус 7π/12, което е по-малко от минус π/2, тоест това не ни върши работа. Така, ако погледнем тук, имаме 3 решения и никое от тях не удовлетворява това – нямаме кратни на 'n по π върху 5'. Следователно отговорът на въпроса е 3. И можехме просто да вземем второто уравнение тук и да видим, че всяко решение на горното уравнение е решение и на това, долното. И тогава щяхме просто да преброим тези решения.
Кан Академия – на български благодарение на сдружение "Образование без раници".