If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:9:54

Преобразуване на тригонометрични изрази

Видео транскрипция

Колко е максималната стойност на израза: 1 върху синус на квадрат от тита, плюс 3 по синус от тита по косинус от тита, плюс 5 по косинус на квадрат от тита? Нека го преобразувам: това е 1 върху имам синус на квадрат от тита и после... Винаги, когато видя синус на квадрат от тита, търся косинус на квадрат от тита, защото знам, че ако взема сбора им, той ще е равен на 1. Тук нямам само един косинус от квадрат от тита, имам 5 пъти косинус на квадрат от тита, така че нека взема едно от тeзи 5. Значи имам плюс косинус на квадрат от тита – взех едно от тези и ми остават само 4, така че плюс 4 по косинус на квадрат от тита, и после имам това тук – плюс 3 по синус от тита по косинус от тита. Тази първа стъпка ми позволи да превърна тези два елемента – синус на квадрат от тита плюс косинус на квадрат от тита – това стана равно на 1. Значи сме го опростили до: 1 върху 1 плюс... Сега, да помислим как можем да запишем косинус на квадрат от тита. Ще запиша тъждествата тук. Косинус на квадрат от тита – тези тъждества сме ги доказвали в раздела тригонометрия – това е равно на 1 плюс косинус от 2 тита, всичко това – върху 2. Целта ми тук е да опростя всичко. Тъй като числителят е константа, можем да използваме математически анализ, за да намерим минималната стойност на знаменателя, която ще ни даде максималната стойност на израза. Косинус на квадрат от тита е равно на това, така че 4 пъти по това ще стане... 4, делено на 2, е 2 – ще е 2 пъти този числител. Значи ще е 2 плюс 2 по косинус от 2 тита. Това е ето този член тук. А за този член тук можем да използваме тригонометричното тъждество за синус от 2 тита, равно на 2 по синус от тита по косинус от тита. Делим двете страни на 2 и получаваме 1/2 синус от 2 тита е равно на синус от тита по косинус от тита. И тази част тук ще стане 1/2 по синус от 2 тита, умножаваме я по 3, и става плюс 3/2 по синус от 2 тита. И да видим, тази част тук определено се опростява. Това е 3... ще го напиша наново. Това е 1 върху 3 плюс 2 по косинус от 2 тита, плюс 3/2 по синус от 2 тита. Тук просто търсим минималната стойност на знаменателя, което ще ни даде максималната стойност на израза. Ще имаме 1 върху тази минимална стойност. Да видим колко близко до нулата можем да стигнем, без да я достигаме. Каква най-малка стойност може да има този знаменател – търсим неговата минимална стойност. За да опростим нещата, можем да видим минималната стойност на това ще бъде същата като... Минимумът на това нещо, няма да го запиша там, за да не те объркам; Минималната стойност на 3 плюс 2 по косинус от 2 тита, плюс 3/2 по синус от 2 тита, ще бъде същата като минималната стойност на 3 плюс – тук само ще заместя с 2 тита, равно на х – това прави нещата малко по-прости. Няма нужда да го правиш, ако не искаш. Така, 3 плюс 2 по косинус от х, плюс 3/2 по синус от х. Това е доста елементарен израз – да видим как да намерим минималната му стойност. Иска ми са да намеря производната, да видя кога е равна на 0, и това ще ни е или максимална, или минимална точка. Така, нека вземем производната на ето този израз тук по отношение на х. Производната на 3 по отношение на х е 0. Производната на 2 по косинус от х е минус 2 по синус от х. Производната на 3/2 по синус от х ще бъде плюс 3/2 по косинус от х. И това ще е равно на 0, търсим наклон 0, за да намерим максималната или минималната стойност. И да видим – можем да добавим 2 по синус от х към двете страни и получаваме 3/2 по косинус от х е равно на 2 по синус от х. След това можем да разделим двете страни на уравнението на... Нека първо разделим на 2, не искам да изпускам много стъпки. Значи 3/4 по косинус от х е равно на синус от х. И можем да разделим двете страни на косинус от х. И получаваме 3/4 е равно на синус от х върху косинус от х, което е същото като тангенс от х. Така че тангенс от х, равен на 3/4, ще ни даде или максимална, или минимална точка. Нека помислим за това малко, ще си начертая единичната окръжност. И нека помислим за двете стойности на х, които ще ни дадат тангенс от 3/4. Нека начертая единичната окръжност. Това винаги е най-трудната част. Готово, ето я единичната ми окръжност. Така, търся триъгълник, в който някой от ъглите има тангенс 3/4. Припомни си, че тангенс е срещулежащ катет към прилежащ катет. Ако това тук е триъгълникът ми, ако това е х – срещулежащ към прилежащ катет е 3/4. Следователно срещулежащият ми катет може да е 3, а прилежащият - 4. И се надявам, че веднага разпознаваш това – това е триъгълник със страни 3, 4 и 5, защото е правоъгълен, и 3 на квадрат плюс 4 на квадрат е 25, което е 5 на квадрат. Така че това е триъгълник със страни 3, 4 и 5. Сега, имаме две стойности за х, х може да е... Така, това очевидно не е хипотенуза с дължина 1, но можем да разделим всичко на 5 и ще стане такава. Тогава ще имаме тази ситуация, където това е х, това е единичната окръжност и хипотенузата е 1. Това е 3/5, а това е 4/5. Тангенсът от х тук ще ни даде 3/4, но това максимална или минимална стойност ще ни е? Ами тук и косинус от х, и синус от х ще са положителни стойности, тоест вероятно ще е максимална стойност. Този израз ще достигне максимум. А другият х, който ни дава същия тангенс – спомни си, че тангенс всъщност е наклонът на радиуса на единичната окръжност. Другият х ще е ето този ъгъл – той има същата стойност за тангенс. Така че това х ето тук... В този случай тангенсът на това х също ще бъде 3/4. Но тук синусът и косинусът са отрицателни. Значи тук координатата х – или косинусът – ще бъде минус 4/5. А стойността на синуса или стойността на координатата у ще бъде минус 3/5. И това ще ни даде минимална стойност, защото в този случай синусът и косинусът са отрицателни. Нека използваме ето този х. Забележи, че дори няма нужда да намираме х, защото знаем, че ако този тангенс е 4/5, или синусът ще бъде 3/5, а косинусът ще бъде 4/5, което ще ни даде максимална точка; или тангенсът може да е 3/4 – тогава синусът ще бъде минус 3/5, а косинусът ще бъде минус 4/5. Нека използваме това тук. Значи минимумът ще бъде равен на 3 плюс 2 по косинус от х – използваме това х ето тук. Косинус от х тук е минус 4/5. Минус 4/5, и после плюс 3/2 по синус от х. Синус от х тук е минус 3/5. Минус 3/5. И на какво ще е равно това? Това ще е равно на 3 плюс... Това е минус 8/5. Трябва да напишем 3 минус 8/5, минус 9/10. Така, това ще е равно на – можем да направим всичко върху 10 – 30 върху 10, минус 16 върху 10. Това са 8/5, минус 9/10... И какво се получава? Получава се 5/10. 5/10 или 1/2. Значи минималната стойност на знаменателя ни – досега се занимавахме само със знаменателя – минималната стойност на всичко това тук е 1/2. Тогава максималната стойност на целия този израз, когато минималната стойност е 1/2, ще е 1 върху 1/2, което е равно на 2. И сме готови!
Кан Академия – на български благодарение на сдружение "Образование без раници".