Интересна тригонометрична задача: система от уравнения

Какъв е броят на всички възможни стойности на тита, такива, че тита да е между 0 и π, за които системата от уравнения: (у плюс z) по косинус от 3 тита е равно на хуz по синус 3 тита, х по синус от 3 тита е равно на 2 по косинус от 3 тита върху у, плюс 2 по синус от 3 тита върху z, хуz по синус от тита е равно на (у плюс 2z) по косинус от 3 тита, плюс у по синус от 3 тита, има решение: х₀, у₀, z₀, при у₀ и z₀, различни от 0, което означава, че нито едно от двете не е 0. Това е малко плашещо. Искам да го опростя възможно най-много. Искам да направя две неща. Всички тези тригонометрични функции са синус или косинус от 3 тита, като тита е между 0 и π. Ще направя малко заместване. Струва ми се, че това ще опрости нещата. Нека заменим с u, равно на 3 тита. После, когато тита е 0, u ще бъде – все още ще е по-голямо от 0. И когато тита е π, u ще трябва да е по-малко от 3π. И така, трябва да намерим броя на u-тата между 0 и 3π, където (у плюс z) по косинус от u е равно xyz по синус от u и т.н. Нека заместим и ще опитам да ги подредя така, че да започнат да ти изглеждат малко по-познати. Ще видим дали можем да поработим с тези уравнения и да съкратим някои от членовете в тях. Първо взимаме това уравнение и ще го направя такова, че да го разпознаем. Нека разпределя косинус от 3 тита или това, което сега наричаме косинус от u. Нека запиша, това е u. И тук имаме u, и тук u, u, u, u, u, u. Ако разпределим косинус от u, това става косинус от u – нека сложа това у отпред. Става у по косинус от u плюс z по косинус от u е равно на xyz по синус от u. Това е първото уравнение. Второто уравнение изглежда ето така – ако умножим двете страни на това уравнение по yz, ще имаме хyz по синус от u от дясната страна, което е същото като това тук. Умножаваме двете страни на уравнението по хyz. Дясната страна на уравнението... не, не по хyz, а само по yz. Умножаваме двете страни на уравнението по yz, за да махнем това от знаменателя. Ще умножим и дясната страна по yz. Лявата страна става хyz по синус от u. Нека препиша това тук. Така, това е хyz по синус от u. После yz по 2 по косинус от u ще е 2z по косинус от u. Значи 2z по косинус от u, просто разменям страните. И след това yz по 2 по синус от u ще стане 2у по синус от u. 2у по синус от u. Това е второто уравнение. Сега не изглеждат толкова различни. А преди изглеждаха много различни. Ще помисля за това. Тази страна има xyz по синус от u. Ще го направя в лилаво. xyz по синус от u. Ще го напиша от тази страна. xyz по синус от u е равно на... Да видим – имаме 2z; Да разпределим този косинус от u. Имаме 2z по косинус от u – плюс 2z по косинус от u, плюс у по косинус от u – това е това по това, плюс у по синус от u. Нека се преместя малко наляво; у синус от u. Преписал съм тези 3 уравнения. Задачата вече не е толкова объркваща. Да опитаме да намерим броя на u-тата между 0 и 3π, които ще ни дадат решение. Да видим... всички тези уравнения са равни на ето този израз. Значи левите страни на тези уравнения са равни една на друга, защото всички са равни на една и съща стойност. Да видим какво можем да направим, за да успеем да съкратим някои неща. Това тук е знак "плюс". Не знам защо съм сложил "равно". Да видим... ако запиша, че това е равно на това. Нека първо използвам тези двете – имаме 2у по синус от u плюс 2z по косинус от u е равно на това, което е това, което трябва да е равно на това. Ще е равно на у по синус от u плюс у по косинус от u плюс 2z по косинус от u. Имаме 2z по косинус от u от двете страни, нека махнем членовете z, и тогава ще имаме 2у по синус от u и у по синус от u. Ако извадим у по синус от u от двете страни, ще получим у по синус от u – вадя това от двете страни; 2у минус у по синус от u – ще остане само у по синус от u; е равно на у по косинус от u. За да имам решение тук, спомни си, че у не може да е 0; За да получим решение, коефициентите пред у трябва да са еднакви. Синус от u трябва да е равно на косинус от u. Това ни е едно ограничение. Синус от u трябва да е равно на косинус от u. Да помислим за единичната окръжност и да видим колко пъти синусът и косинусът на ъгъл ще са равни, когато се движим от 0 до 3π. Ето я единичната окръжност. Ясно е, че когато сме при 45 градуса, синусът и косинусът са равни. 45 градуса е същото като π/4. Там са равни. Може да се изкушиш да включиш това тук, но тук косинусът е отрицателен, а синусът е положителен. Така че това не става. Тук и двете са отрицателни, но са равни, тоест това е още една стойност. Това не върши работа. Досега сме изминали разстоянието до 2π. Можем да продължим с още едно π, да стигнем до 3π. Можем да се върнем тук. Тоест имаме 1, 2, и после, като направим цял кръг – 3 стойности. После не можем да се върнем при тази стойност, защото, нека взема друг цвят – можем да се придвижим само 3π за u. Значи това е 2π, и можем да завъртим още веднъж дотук. Това е 3π. Имаме 1, 2, 3 стойности. Има 3 възможни u-та. Само от това ограничение – само като използваме това синьо уравнение и това в лилаво. Нека само се уверя, че нямаме и други ограничения. Нека да използваме 2 от другите уравнения. Искам да използвам това, в което изглежда, че има някакво унищожаване. Можем да използваме това или това – y по косинус от u плюс 2z... Да, защо не? Стига само да използваме и трите уравнения в ограниченията си, тогава ще сме ограничили правилно всички възможни решения. Да помислим за това. Това е равно на това, което е равно на това, което е равно на това. Можем да запишем: у по косинус от u плюс z по косинус от u е равно на цялото това нещо – е равно на у по синус от u, плюс y по косинус от u, плюс 2z по косинус от u. После имаме у по косинус от u от двете страни. Унищожават се. Можем да извадим z по косинус от u от двете страни. Вадим z по косинус от u от двете страни и получаваме, че 0 е равно на у по синус от u плюс z по косинус от u. Това прилича на добро твърдение. у по синус от u плюс z по косинус от u е равно на 0. Нека проверя. у по синус от u плюс z по косинус от u е равно на 0. Това означава, че 2 по това също ще е 0. Следователно това е равно на 2у по синус от u, плюс 2z по косинус от u е равно на 0. Причината да умножа това по 2 е, че сега това изглежда равно на това. Когато използвах това и това уравнения, получих ограничение, че този израз тук трябва да е равен на 0. Този израз тук също трябва да е равен на 0. Което е добре, защото мога да направя така, че синусът да е равен на 0 или х да е равно на 0. Спомни си, че не ни дават ограничения за х, х може да е равно на 0. Което ще направи всичко това да е равно на 0. Това не променя ограниченията ни. Сега съм използвал цялата информация от условието на задачата. Използвали сме и трите от тези неща, за да видим какви ограничения имаме за пресечните им точки. И единственото истинско ограничение е, че синус от u трябва да е равно на косинус от u. И имаме 3 възможни u-та между 0 и 3π, които отговарят на това.