Интересна тригонометрична задача: косинус от сбор на два ъгъла

Знаем, че тита се намира между π и 2π, а косинус от тита е равен на минус (корен квадратен от 3 върху 2), а фи е остър ъгъл, като можем да приемем, че е положителен остър ъгъл. Можем да кажем остър положителен ъгъл или положителен остър ъгъл. А косинус от фи е равно на 7/25. Трябва да намерим косинус от фи плюс тита. Можем ли да го направим без калкулатор? Съветвам те да спреш това видео и да помислиш самостоятелно. Да видим дали можем да го решим. Когато от нас се иска да намерим косинус от фи плюс тита, следва да намерим косинус от сбор на два ъгъла. Поне на мен веднага ми светва лампичката, че формулата за сбор на ъгли може да ни помогне да го изчислим, особено след като знаем колко е косинус от тита и косинус от фи, а после вероятно можем и да ги използваме, за да намерим синус от тита и синус от фи. Нека да запишем формулата за сбор от ъгли. Според нея косинус от (фи плюс тита) е равно на произведението на косинусите на тези два ъгъла. Следователно косинус от фи по косинус от тита минус... Ако това е със знак плюс, това ще бъде със знак минус; ако това е със знак минус, това ще бъде със знак плюс. Минус произведението на синусите на двата ъгъла – синус от фи по синус от тита. Вече знаем част от тази информация. Знаем колко е косинус от фи. Косинус от фи е равно на 7/25. Това е 7/25. Знаем колко е косинус от фи. Косинус от тита е равно на минус корен квадратен от 3 върху 2. Минус корен квадратен от 3 върху 2. Ще използваме умножение за този член. Сега трябва да намерим стойностите на синус от фи и синус от тита. За щастие знаем питагоровото тъждество. То ни казва, че синус на квадрат от тита плюс косинус на квадрат от тита е равно на 1. Или можем да кажем, че синус на квадрат от тита е равно на 1 минус косинус на квадрат от тита или че синус от тита е равно на плюс или минус корен квадратен от 1 минус косинус на квадрат от тита. Например можем да използваме това, за да намерим синус от тита. Можем да кажем, че синус от тита ще бъде равно на плюс или минус корен квадратен от 1 минус косинус на квадрат от тита. Косинус тита е равно на минус корен квадратен от 3 върху 2. Ако повдигнем това на квадрат, това ще бъде със знак плюс. Ако повдигнем корен квадратен от 3 на квадрат, ще получим 3, а, ако повдигнем 2 на квадрат, ще получим 4. Плюс или минус квадратен корен от 1 минус 3/4, което е равно на плюс или минус корен квадратен от 1/4, което е равно на плюс или минус 1/2. На кое от двете ще е равно синус от тита? На 1/2 със знак плюс или на 1/2 със знак минус? За да разсъждаваме върху това, можем да си начертаем малка единична окръжност. Това е нашата ос у. Това е нашата ос х. Ще начертая единична окръжност тук, колкото мога по-сполучливо. Малка единична окръжност. Какво ни е дадено за ъгъл тита? Дадено ни е, че тита е с големина между π и 2π, следователно той е между π и 2π. Следователно горното рамо на нашия ъгъл ще лежи в третия или четвъртия квадрант. Казваме, че синус от тита е равно на плюс 1/2 или минус 1/2. Ако е 1/2, това ще означава, че е един от тези ъгли тук; ако е -1/2, това ще означава, че е един от тези ъгли тук. Значи се намираме в третия или четвъртия квадрант, следователно синус от тита – не знаем дали тита е този ъгъл или ето този, но знаем, че, ако той е в третия или четвъртия квадрант, неговият синус няма да е с положителен знак. Знаем, че за този ъгъл тита синус от тита ще бъде равен на -1/2, -1/2. Следователно това тук е -1/2. Да разгледаме синус от фи. Синус от фи ще бъде равно на плюс или минус квадратен корен от 1 минус косинус от фи на квадрат. Косинус от фи е 7/25, следователно това е 49 върху 625. Колко ще бъде това? Нека да го сметна тук. 625 върху 625 минус 49 върху 625. Току-що представих 1 като 625 върху 625. 625 минус 50 ще бъде 575. Плюс още едно – 576 върху 625. Това е равно на плюс или минус корен квадратен от 576 върху 625. Знаем колко е корен квадратен от 625. 25 е. А корен квадратен от 576 на 24 ли е равно? 24 по 24, да, равно е 576. Следователно това е равно на плюс или минус 24/25. Следователно синус от тита е 24/25. Запомни: синус от ъгъл е равен на координатата у на пресечната точка на горното рамо с единичната окръжност. Следователно разглеждаме някой от тези ъгли ако синусът е със знак плюс. Разглеждаме този или този ъгъл, или другото рамо е отново тук долу. Дадено ни е, че фи е положителен остър ъгъл. Следователно работим всъщност по този сценарий ето тук. Синус от фи ще бъде равно на 24/25 със знак плюс или 24/25. Сега просто трябва да умножим числата и да извършим изваждането. Това ще бъде равно на 725... Нека да го запиша. Това ще бъде равно на -7 по корен квадратен от 3 върху – 25 по 2 е равно на 50 – върху 50, минус... Тук ще имаме отрицателен знак, така че можем да кажем плюс. Отрицателно по отрицателно е равно на положително. След това имаме 24 върху 25 по 1/2, което е равно на 12 върху 25, така че – плюс 12 върху 25. Но нека да го запиша върху 50, тъй като тук имаме 50. Ще стане плюс 24 върху 50. И това ще бъде равно на 24 минус 7 по квадратен корен от 3 – цялото върху 50. И сме готови.