If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:3:28

Използване на тригонометричното тъждество за удвоен ъгъл

Видео транскрипция

Имаме триъгълник АВС, който изглежда като правоъгълен триъгълник, И ние знаем, че е правоъгълен, защото 3 на квадрат плюс 4 на квадрат е равно на 5 квадрат. И искат от нас да намерим колко е косинус от 2 пъти ъгъл АВС. Това е ъгъл ABC. Не можем веднага да изчислим това, но знаем колко е косинус от ъгъл АВС. Знаем, че косинус от ъгъл АВС – косинус е просто прилежащ към хипотенуза – ще бъде 3/5. И аналогично знаем колко е и синус от ъгъл АВС. Той е срещулежащ към хипотенуза, което е 4/5. Ако сведем това до израз с косинус от ъгъл АВС само или синус от ъгъл АВС, ще успеем да решим задачата. За щастие имаме тригонометричните тъждества на свое разположение, които правят точно това. Знаем, че косинус от удвоен ъгъл е равен на косинус от този ъгъл на квадрат минус синус от този ъгъл на квадрат. Доказвали сме това в предишни видеа, но то ни е много полезно и тук. Защото сега знаем, че косинус – нека го напиша в различен цвят. Сега знаем, че косинус от ъгъл АВС ще бъде равен на – извинявай! – косинус от 2 пъти ъгъл АВС – това ни интересува; косинус от 2 пъти ъгъл АВС ще е равно на косинус от ъгъл АВС на квадрат, минус синус от ъгъл АВС на квадрат. А ние знаем на какво са равни тези неща. Това нещо тук ще е равно на 3/5 на квадрат – косинус от ъгъл АВС е 3/5; и го повдигаме на квадрат. И това нещо тук е просто 4/5 на квадрат, тоест минус 4/5 на квадрат. Това се свежда до 9/25 минус 16/25, което е равно на 7/25. Това тук е 7.... Извинявай – минус 7/25! 16 е по-голямо от 9. Минус 7/25. Сега, нещо, за което може да се замислиш, е защо получихме отрицателна стойност тук, след като сме умножили ъгъла? Косинусът беше определено положително число. И тук трябва да си спомниш единичната окръжност. Вече знаем определението за единична окръжност, което е като разширение на 'soh-cah-toa'. Оста х, оста у. Нека начертая и единичната кръжност. Чертая я възможно най-добре. Този ъгъл ето тук изглежда горе-долу така. Ето така. Виждаш х координатата на точката от окръжността, която е косинусът от този ъгъл – изглежда положителен. Но ако искаме да удвоим този ъгъл, това ще ни отведе някъде тук. И виждаш, по определението за единична окръжност, че х координатата на точката сега е във втори квадрант. Тоест тя ще е отрицателно число. Това е всъщност, което се случи в тази задача.
Кан Академия – на български благодарение на сдружение "Образование без раници".