If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:6:02

Доказване на тъждеството за косинус на сбор на ъгли.

Видео транскрипция

В предишното видео доказахме формулата за синус от сбор на два ъгъла. Вероятно ще се досетиш, че в това видео искам да докажа формулата за косинус от сбор на ъгли. Или, по-точно, че cos(x+y), е равно на cos x по cos у, минус... Тук имаме знак плюс, а тук – знак минус. Минус sin x по sin y. Ще използвам техника, много подобна на тази, с която го доказах за синус. Затова те съветвам да спреш видеото на пауза – сега или по-късно, когато получиш вдъхновение, за да видиш дали можеш да го докажеш самостоятелно. Точно както попитахме при синус, колко е cos(x+y) на този чертеж ето тук? x+y е мярката на този ъгъл. Ако погледнем правоъгълния триъгълник ADF, cos(x+y) е равен на прилежащия катет върху хипотенузата – отсечката AF върху хипотенузата или, тъй като хипотенузата е равна на 1, AF, делено на 1, ще бъде просто AF. cos(x+y) е равен на дължината на отсечката AF. Това там е равно на ето това тук. Всъщност нека да го запиша. Копирам го тук. Дължината на отсечката AF е cos(x+y). Да помислим как можем да получим това. Ще го разгледам по следния начин - ако са ни дадени останалите правоъгълни триъгълници от чертежа, можем ли да намерим това или AF. Ще го запиша по следния начин. Това нещо, което е същото като AF, е равно на... Нека го запиша така – равно е на дължината на отсечката AB. Равно е на дължината на отсечката AB, която е цялата отсечка ето тук, минус дължината на отсечката FB. Минус тази отсечка ето тук. Минус дължината на отсечката FB. От вида на формулата за косинус от сбор на ъгли можеш да предположиш на колко ще е равна AB и на колко FB. Ако успеем да докажем, че AB е равна на това (cos x по cos y) и ако докажем, че FB е равна на това (sin x по sin y), сме готови. Тъй като знаем, че cos(x+y), което е AF, е равно на AB минус FB. Или, ако успеем да докажем това – че това е равно на това минус това... Нека помислим какво всъщност представляват тези неща. Какво е AB? Да разгледаме правоъгълния триъгълник ACB. Знаем от предишното видео, че, тъй като триъгълник ADC има хипотенуза, равна на 1, тази дължина е 1, а AC е cos х. Да помислим върху това какво е AB. AB е прилежащият към ъгъла с мярка y катет. Можем да кажем, че косинусът... Нека да го направя по-долу. След като разгледахме всичко това, можем да кажем, че cos у, е равен на дължината на прилежащия катет... Това е отсечката АВ върху хипотенузата – върху cos x. Умножаваме двете страни по cos x. Получаваме, че отсечката АВ е равна на cos x по cos y, което е точно каквото започнахме да доказваме. Току-що доказахме, че дължината на отсечката АВ е наистина равна на cos x по cos y. Цялото нещо е равно на cos x по cos y. Сега само трябва да докажем, че отсечката FB е равна на sin x по sin y. Тази отсечка изглежда малко странно. Тя не е част от никакъв, поне правоъгълен триъгълник, какъвто начертах и в който знаем мярката на единия от ъглите. Но можем да видим от чертежа, че ECBF е правоъгълник. Използваме този факт при доказването на формулата за синус на сбор от ъгли. Ще го използваме и сега, защото той ни казва, че FB е същата като ЕС. А на колко ще бъде равна ЕС? Имаме ъгъла y. На колко е равна... Тази страна е срещуположна на ъгъл y. Може би трябва да включим синус. Знаем, че sin y (в триъгълник ECD) е равен на дължината на срещулежащия катет – дължината на ЕС, върху хипотенузата, което е sin x. Видяхме това в предишното видео. Това е x. Срещулежащият катет върху хипотенузата е sin x. Хипотенузата е с дължина 1, следователно срещулежащият катет е равен на sin x. Ако умножим и двете страни по sin x, получаваме това, което търсехме. ЕС е равна на sin x по sin y. Още веднъж, ЕС има същата дължина като отсечката FB. Току-що показахме, че отсечката FB е равна на sin x по sin y. Това е равно на това тук. Отново, cos(x+y), което е равно на отсечката AF, е равно на дължината на отсечката AB минус дължината на отсечката FB. Доказахме, че дължината на отсечката AB е равна на cos x по cos y минус дължината на отсечката FB, която е равна на sin x по sin y. И сме готови.
Кан Академия – на български благодарение на сдружение "Образование без раници".