Доказване на формулата за синус от сбор на два ъгъла

В това видео искам да докажа формулата за синус от сбор на ъгли, по-точно – да докажа, че sin(x+y) е равно на (sin x по cos y) плюс (cos х по sin y). Ще го докажа, като използвам този чертеж. Можем да видим на него този червен правоъгълен триъгълник. Хипотенузата на този триъгълник е с дължина 1. Ще означим този триъгълник като ADC. Той е разположен тук отгоре, неговата основа е хипотенузата на триъгълник ACD, която ще маркирам в синьо, тъй като вече означих мярката на този ъгъл с у. AC, основата на триъгълник ADC, е хипотенузата в триъгълник ABC. Те са разположени един върху друг по този начин. Ще ги разгледаме, като първо видим на колко ще бъде равно sin(x+y)? х+у е мярката на целия ъгъл ето тук. Ако разгледаме правоъгълния триъгълник ADF – знаем, че синусът на един ъгъл е равен на срещулежащия катет към хипотенузата. Хипотенузата е равна на 1, следователно синус от това ще бъде равно на срещулежащия катет върху 1, или sin(x+y) е равно на дължината на срещулежащия катет. Следователно sin(x+y) ще бъде равно на дължината на отсечката DF. Добре, дължината на отсечката DF е точно това, което търсим, но можем да разделим дължината на DF на две отсечки. Можем да я разделим на дължината на отсечката DE и дължината на отсечката EF. Можем да кажем, че DF, която е равна на sin(x+y) – дължината й е същата – е равна на дължината на отсечката DE плюс дължината на отсечката EF. EF е равна на дължината на отсечката CB. Четириъгълникът ECBF е правоъгълник, следователно EF е равна на CB. Следователно това ще бъде равно на дължината на отсечката DE плюс дължината на отсечката CB. Отново, представяме го като sin(х+y), което е равно на дължината на DF. А DF може да се представи като сбор от дължините на DE и CB. Като имаш предвид това, ти предлагам да помислиш каква е дължината на отсечката DE по отношение на х, у, синус, косинус. Както и каква е дължината на отсечката CB по отношение на х, у, синус, косинус. Опитай да отговориш колкото се може по-изчерпателно и вероятно ще откриеш отговора и за тези двете. Приемаме, че вече пробва. Ако sin(x+y) може да бъде представено по този начин, да видим дали можем да открием тези неща. Ще се опитам да го направя, като намеря колкото мога повече дължини и ъгли. Да разгледаме този червен триъгълник най-отгоре. Неговата хипотенуза е с дължина 1, следователно каква ще е дължината на DC? Това е срещулежащият катет на ъгъл х, а ние знаем, че sin x е равен на DC върху 1. DC върху 1 е просто DC. Тази дължина е равна на sin x. За отсечката AC – по същия начин. Cos x е равен на дължината на AC върху 1, което е просто дължината на АС. Тази дължина тук, отсечката AC, е равна на cos x. Това е интересно. Да видим сега какво можем да разберем за този триъгълник, триъгълник ACB. Как можем да намерим СВ? Знаем, че sin y... Нека да го запиша. На колко е равен sin y? Равен е на дължината на отсечката СВ върху хипотенузата. Хипотенузата е равна на cos x. Може би виждаш накъде ни води всичко това. Винаги, когато се вдъхновиш, просто спри видеото на пауза и се опитай да го докажеш самостоятелно. Дължината на отсечката CB... Ако умножим двете страни по cos x, дължината на отсечката CB е равна на cos x по sin y. Това е прекрасно, защото току-що доказахме, че това нещо тук (СВ) е равно на ето това (cos x по cos y). За да завършим нашето доказателство, трябва да докажем, че това нещо (DE) е равно на ето това (sin x по cos y). Ако това е равно на това и това е равно на това, вече знаем, че сборът от тези е равен на дължината на DF, която е sin(x+y). Да видим дали можем да изразим някак DE. Кой ъгъл ще е подходящ за това? Ако можем да намерим този ъгъл тук горе или този ъгъл... Ако можем да намерим този ъгъл, тогава можем да представим DE по отношение на този ъгъл и sin x. Да видим дали можем да намерим този ъгъл. Знаем, че това тук е ъгъл у и също така знаем, че това е прав ъгъл. EC е успоредна на AB, следователно АС е пресечна. Тогава, ако това тук е ъгъл у, тогава това също е ъгъл у. Още веднъж, ако АС е пресечна, а EC и AB са успоредни, тогава, ако това е у, това също е у. Ако това е у, тогава това е 90 минус y. Ако това е 90 градуса, а това – 90 минус y, тогава сборът на тези два ъгъла е 180 минус у. А, ако сборът и на трите е 180, тогава това трябва да е равно на у. Потвърждаваме, че y плюс 90 минус y плюс 90 е 180 градуса. И това е полезно за нас, защото сега можем да представим отсечката DE по отношение на y и sin x. Как се отнася DE към y? Това е прилежащият ъгъл, следователно имаме косинус. Знаем, че cos y... Ако разгледаме триъгълник DEC, знаем, че cos y е равен на отсечката DE върху хипотенузата – върху sin x. Би трябвало вече да се радваш много, защото току-що доказахме, че, ако умножим двете страни по sin x... Доказахме, че дължината на DE е равна на sin x по cos y. Доказахме, че това (DE) е равно на това (sin x по cos y). Вече доказахме, че CB е равно на това, следователно сборът от DE и CB, който е равен на сбора от DE и EF, е равен на sin(x+y), което е ето това тук. Готови сме. Доказахме формулата за синус на сбор от ъгли.