Основно съдържание

Курс: 11. клас (България) - стара програма 2019/2020 > Раздел 8

Урок 2: Действия с вектори

Преобразуване на вектори от компонентна форма в дължина и посока (обобщение)

Виж обобщение на това как определяме дължината и посоката на вектор, който ни е даден в компонентна форма, и обратно.

Обобщение на метода за работа

Намиране дължина на вектор чрез компонентите му

Дължината на вектор

(a; b)

| | (a; b) | | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

Определяне на посоката на вектор чрез компонентите му

Ъгълът на посоката на вектор

(a; b)

θ = {tg}^{- 1} (\frac{b}{a})

плюс съответната корекция за квадранта, в който се намира векторът, която можеш да видиш в следната таблица:

Квадрант	Корекция
Q1	${tg}^{- 1} (\frac{b}{a})$ ‍
Q2	${tg}^{- 1} (\frac{b}{a}) + 180 °$ ‍
Q3	${tg}^{- 1} (\frac{b}{a}) + 180 °$ ‍
Q4	${tg}^{- 1} (\frac{b}{a}) + 360 °$ ‍

Определяне на компонентите на вектор при дадени неговите дължина и посока

Компонентите на вектор с дължина

| | \vec{u} | |

и посока

θ

са:

(| | \vec{u} | | \cos (θ); | | \vec{u} | | \sin (θ))

Какво са дължина и посока на вектор?

Свикнали сме да представяме векторите в тяхната компонентна форма. Например вектора

(3; 4)

. Можем да начертаем вектори в координатната система, като начертаем насочена отсечка от началото ѝ до точката с координати компонентите на вектора:

Като разгледаме чертежа, виждаме, че има и друг начин да опишем еднозначно векторите: чрез тяхната

дължина

посока

Дължината

на един вектор е дължината на отсечката, докато

посоката

е ъгълът между нея и положителната посока на оста

x

Дължината на вектора

\vec{v}

обикновено се записва като

| | \vec{v} | |

Искаш ли да научиш повече за дължина на вектори? Виж това видео.
Искаш ли да научиш повече за посока на вектори? Виж това видео.

Поредица упражнения 1: Определяне на дължина на вектор при дадени неговите компоненти

За да намерим дължината на вектора от неговите компоненти, взимаме квадратния корен от сумата на квадратите на компонентите (това е директно следствие от питагоровата теорема).

| | (a; b) | | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

Например дължината на вектора

(3; 4)

\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5

Задача 1.1

\vec{u} = (1; 7)

| | \vec{u} | | =

Въведи отговора със знак за квадратен корен или като десетична дроб, закръглена до най-близката стотна.

Искаш ли да опиташ още задачи като тази? Виж това упражнение.

Поредица упражнения 2: Определяне на посоката на вектор при дадени компоненти на вектора

За да намерим посоката на вектор от неговите компоненти, взимаме реципрочното на частното на компонентите:

θ = {tg}^{- 1} (\frac{b}{a})

Това следва от използването на тригонометричните зависимости в правоъгълния триъгълник, образуван от вектора и оста

x

Пример 1: Квадрант $I$ ‍

Нека намерим посоката на вектора

(3; 4)

{tg}^{- 1} (\frac{4}{3}) \approx 53^{\circ}

Пример 2: Квадрант $IV$ ‍

Нека намерим посоката на вектора

(3; - 4)

{tg}^{- 1} (\frac{- 4}{3}) \approx - 53^{\circ}

Калкулаторът показва отрицателен ъгъл, но е прието да ползваме положителни числа за посоките на векторите. Затова просто добавяме

360^{\circ}

- 53^{\circ} + 360^{\circ} = 307^{\circ}

Пример 3: Квадрант $II$ ‍

Нека намерим посоката на вектора

(- 3; 4)

. Най-напред забележи, че векторът

(- 3; 4)

се намира в квадрант

II

{tg}^{- 1} (\frac{4}{- 3}) \approx - 53^{\circ}

- 53^{\circ}

е в квадрант

IV

, а не в

II

. Трябва да добавим

180^{\circ}

, за да получим срещуположния ъгъл:

- 53^{\circ} + 180^{\circ} = 127^{\circ}

Задача 2.1

\vec{u} = (5; 8)

θ =

^{\circ}

Въведи отговора си като ъгъл в градуси между $0^{\circ}$ ‍ и $360^{\circ}$ ‍, закръглен до най-близката стотна.

Искаш ли да опиташ и други подобни задачи? Виж това упражнение.

Поредица упражнения 3: Определяне на компонентите на вектор при дадени дължина и посока

За да намерим компонентите на вектор, когато са дадени неговата дължина и посока, умножаваме дължината по синуса или косинуса на ъгъла:

\vec{u} = (| | \vec{u} | | \cos (θ); | | \vec{u} | | \sin (θ))

x

Например това е компонентната форма на вектора с дължина

2

и ъгъл

30^{\circ}

(2 \cos (30^{\circ}); 2 \sin (30^{\circ})) = (\sqrt{3}; 1)

Задача 3.1

\vec{u} \approx (

;

)

Закръгли крайния си отговор до най-близката стотна.

Искаш ли да пробваш още задачи като тази? Виж този пример.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

11. клас (България) - стара програма 2019/2020

Курс: 11. клас (България) - стара програма 2019/2020 > Раздел 8

Обобщение на метода за работа

Намиране дължина на вектор чрез компонентите му

Определяне на посоката на вектор чрез компонентите му

Определяне на компонентите на вектор при дадени неговите дължина и посока

Какво са дължина и посока на вектор?

Поредица упражнения 1: Определяне на дължина на вектор при дадени неговите компоненти

Поредица упражнения 2: Определяне на посоката на вектор при дадени компоненти на вектора

Пример 1: Квадрант I‍

Пример 2: Квадрант IV‍

Пример 3: Квадрант II‍

Поредица упражнения 3: Определяне на компонентите на вектор при дадени дължина и посока

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Пример 1: Квадрант $I$ ‍

Пример 2: Квадрант $IV$ ‍

Пример 3: Квадрант $II$ ‍