Въведение във векторно произведение

Научихме доста за скаларното произведение на вектори. Но когато го споменах за пръв път, споменах, че това е само единият от видовете умножение на вектори, а другият вид е векторното произведение, което вероятно познаваш от часовете си по векторна алгебра или векторен анализ, или от часовете по физика. Векторно произведение. Но векторното произведение има много по-ограничено приложение от скаларното произведение. Полезно е, но има много по-ограничено приложение. Скаларното произведение е дефинирано във всяко измерение, то е дефинирано за всеки два вектора, които са в Rn. Можеш да намериш скаларното произведение на вектори, които имат два компонента. Можеш да намираш скаларното произведение на вектори, които имат милиони компоненти. Векторното произведение е определено само в R3. И другата главна разлика е, че скаларното произведение – и след малко ще видим това, след като дефинирам скаларно произведение, още не съм дефинирал скаларно произведение. Скаларното произведение ни дава скаларна величина. Скаларното произведение на два вектора е просто число. Но при векторното произведение ще видиш, че ще получим друг вектор. И векторът, който ще получим, ще е вектор, който е ортогонален на двата вектора, на които намираме векторното произведение. След като те изпълних с нетърпение, нека дефинирам векторното произведение. Вероятно вече си срещал това веднъж или два пъти в математическата си кариера. Нека е даден вектор а. Той трябва да е в R3, така че има само три компонента: а1, а2 и а3. И ще умножа това векторно с вектор b, който има три компонента: b1, b2 и b3. Векторното произведение на вектор а по вектор b е дефинирано като трети вектор. И сега това ще изглежда малко странно и трудно за запомняне, понеже това е определение. Но ще ти покажа как да помислиш за това, когато векторите ми са записани в този вид като стълбове. Ако гледаш плейлистата по физика, имам множество видеа за векторното произведение и ти показвам как разсъждавам за векторното произведение, когато векторите са във вида i, j, k. Но когато го имам по този начин, мислиш за това по следния начин – първият член тук горе ще е друг вектор в R3, така че ще има 1, 2, 3 члена. За първия член игнорираш тези горни два члена на този вектор и после гледаш долните два члена и взимаш а2 по b3 – а3 по b2. И направих няколко видеа за детерминантите, въпреки че не съм ги обяснил формално в този плейлист за линейна алгебра. Но ако помниш, намирането на адюнгираното количество, когато определяш детерминантата, или ако просто определяш детерминанта за матрица 2х2, това може да ти се стори много познато. Този първи член тук е детерминантата на – ако се отървеш от първия ред на тези два вектора тук, взимаш а2 по b3 – а3 по b2. Това е а2 по b3 – а3 по b2. Надявам се, че това беше доста лесно. За да не правя живота ти по-сложен, когато пресмяташ втория компонент, когато правиш средния ред, когато правиш точно този компонент, зачеркваш средните елементи на векторите. Можеш да искаш да направиш този компонент а1 по b3 – а3 по b1. И това ще е логично, понеже това направихме тук горе. Но за средния ред правиш противоположното. Взимаш а3 по b1 – а1 по b3. Или можеш да гледаш на това като на отрицателния вариант на онова, което щеше да направиш по пътя на логиката. Щеше да вземеш a1 по b3 – a3 по b1. Сега ще вземем а3 по b1 – a1 по b3. Но това беше само за този среден ред. А за долния ред отново зачеркваме последните елементи на векторите или ги игнорираме. Взимаме a1 по b2, точно както направихме с първия ред, минус a2 по b1. Това не е лесно за запомняне. Ето защо трябва да създадем тази система, както ти казах. Но това може да изглежда доста странно и дълго. Нека направя няколко примера, за да схванеш определението за векторното произведение в R3. Да кажем, че имам вектор – да кажем, че векторно умножавам... Имам вектор [1; -7; 1]. И ще умножа това векторно с вектор [5; 2; 4]. Това ще е равно на трети вектор. Нека си освободя място, за да направя изчисленията. За първия елемент просто игнорираме първите елементи на тези вектори и взимаме –7 по 4, минус 1 по 2. И това е просто обикновено умножение. Не взимам скаларното произведение. Това са просто обикновени числа. Игнорираме средните членове тук и правим обратното. Взимаме 1 по 5 минус 1 по 4. Помни, може да ти се иска да вземеш 1 по 4 минус 1 по 5, понеже така направихме с първия член. Но средният член е противоположното. И, накрая, игнорираш третия член тук и правиш както при първия член. Започваш от горната лява част. 1 по 2 минус (–7)... Поставяш това в скоби. (–7) по 5. И това ще е равно на – да видим. Какво получаваме? –7 по 4. Не искам да направя грешка от невнимание. Това тук е – 28 минус 2. За първия член имаме –30. Това е 5 минус 4. 5 минус 4 е просто 1. И после 2 минус (–35). Това е 2 + 35. Това е 37. Ето. Надявам се, че разбираш поне механиката на векторното произведение. След това си казваш: "Добре, мога да намеря векторното произведение на два вектора. Но за какво е полезно това? Каква работа ми върши това?" И отговорът е, че този трети вектор тук и в зависимост дали си оставам при абстрактния случай или направя този случай с числа, той е ортогонален спрямо двата вектора, на които намираме векторното произведение. Полученият вектор е ортогонален спрямо вектор а и спрямо вектор b. Което е доста хубаво. Ако просто помислим за последното видео, където говорихме за нормални вектори към дадена равнина, можем да определим равнина чрез два вектора. Да кажем, че имаме вектор а тук и после имам вектор b. Нека направя вектор b тук. Тези два вектора определят равнина в R3. Нека определя равнината. Всички линейни комбинации на тези два вектора образуват равнина в R3. Можеш да го разгледаш все едно могат да образуват подпространство в R3. Това образува равнина. Ако умножиш а векторно по b, получаваш трети вектор, който е под прав ъгъл към тези двата. а векторно умножен по b ще изглежда сякаш изскача от страницата. Ще е под прав ъгъл към тях двата и ще изглежда ето така. Този вектор тук е векторното произведение на вектор а по вектор b. И може да си кажеш, че има много вектори, които са ортогонални. Очевидно дължината на този вектор – не я уточних тук, но може да изглежда сякаш изскача право нагоре или можеше да изглежда сякаш изскача надолу, ето така, тогава също ще е ортогонален спрямо вектор а и вектор b. Векторното произведение на вектор а по вектор b е определено по следния начин: можеш да намериш посоката визуално като използваш нещо, наречено правилото на дясната ръка. И използваш дясната си ръка. Да видим дали мога да начертая дясна ръка. Насочваш показалеца си в посоката на вектор а. Ако показалецът ти е в посоката на а, а после насочим средния си пръст в посоката на b – в този случай средният ми пръст ще изглежда ето така. Средният ми пръст ще изглежда ето така. А другите си пръсти не насочвам наникъде. После палецът ми ще е в посоката на векторното произведение на а по b. Можеш да видиш това тук. Палецът ми е в посоката на а векторно умножен по b. И ако приемем, че анатомично приличаш на мен, тогава ще получиш същия резултат. Нека начертая всичко. Това е вектор а. Вектор b преминава в тази посока. Надявам се, че палецът ти не виси тук долу. Знаеш, че а векторно умножено по b в този пример ще сочи нагоре и е под прав ъгъл към двете. За да те зарадвам, този вектор определено е под прав ъгъл към – или това нещо определено е под прав ъгъл към тези двете. Нека се занимаем малко с това и да видим, че определено е така. Какво означава да е ортогонален? Какво е определението на "ортогонален" в този контекст? Ортогонални вектори. Ако векторите а и b са ортогонални, това означава, че скаларното произведение на вектор а по вектор b е равно на 0. Помни, разликата между ортогонален и перпендикулярен е, че ортогонален също се отнася за нулеви вектори. Тези вектори тук могат да бъдат нулеви вектори. Забележи, че не казвам, че някои вектори от тези тук трябва да са ненулеви. След малко ще говорим за ъгъла между векторите и ще трябва да приемеш, че са различни от нула. Но ако просто намираш векторно произведение, няма причина тези числа да не могат да са 0. Но нека ти покажа, че векторното произведение на вектор а по вектор b определено ще е ортогонален и на вектор а, и на вектор b. Мисля, че това може да те удовлетворява. Нека копирам а векторно умножено по b тук. Не ми се иска да го пренаписвам. Добре. Да го поставя. Копирал съм и други неща с него. Нека намеря скаларното произведение на този вектор с вектор а, който беше просто [а1; а2; а3]. Как изглежда скаларното произведение? Този член по този – това е а1... нека си освободя малко пространство. Това е а1 по a2 по b3, минус a1 по това. Минус а1 по a3 по b2. После имаш плюс това по това. Тоест плюс а2 по а3. Плюс а2 по а3 по b1. А после минус а2 по а1 по b3. И накрая плюс... ще продължа тук долу. Плюс а3 по а1 по b2 минус а3 по а2 по b1. И просто взех скаларното произведение на тези две неща. Просто взех всяко от това. Това по това беше равно на тези два члена. Това по това беше равно на следващите два члена, тези двата. А после това по това беше равно на тези два члена. И ако тези вектори наистина са ортогонални, тогава това трябва да е равно на 0. Да видим дали е така. Имам а1 по а2 по b3, тук знакът е положителен, и после изваждам същото нещо. Това е а1 по а2 по b3, но това е със знак минус. Това се унищожава с това. Да видим какво друго имаме? Имаме минус а1 по а3 по b2. Имаме плюс а1 по а3 по b2, така че тези двете ще се унищожат. Мисля, че виждаш накъде отива това. Имаш плюс а2 по а3 по b1, а после имаш минус а2 по а3 по b1. Тези двете също ще се унищожат. Току-що ти показах, че полученият вектор е ортогонален спрямо вектор а. Нека ти покажа, че полученият вектор е ортогонален на вектор b. Ще направя още едно копие на векторното произведение на двата вектора. Ще сляза малко надолу. Ще се върна обратно. И ще умножа това по вектор b. [b1; b2; b3]. Ще го направя тук, за да имам малко пространство. b1 по цялото това нещо тук е b1 по а2 по b3, минус b1 по това, това е минус b1 по a3 по b2. Ще сменя цветовете. И после b2 по това ще е b2... това ще е плюс. Това е един цял израз, просто го пиша на няколко реда. Това не е вектор. Помни, когато намираш скаларното произведение на две неща, получаваш скаларна величина (число). Значи + b2 по това. b2 по a3 по b1 минус b2 по a1 по b3. И накрая имаме b3 по това. Плюс b3 по a1 по b2 минус b3 по a2 по b1. Ако тези неща са определено ортогонални, тогава този израз трябва да е равен на 0. Да видим дали е така. Имаме b1 по a2 по b3. b1 и b3. Тук b1 по a2 по b3 е положително, а това тук е отрицателно. Имаш b3 по a2 по b1. Тези се унищожават. Тук имаш минус b1 по a3 по b2. Имаш b1 и b2. Това е минус b1 по a3 по b2. Това е същото нещо, но положително. Просто променяме реда на умножение. Но тези двете са един и същи член. Просто са противоположни едно на друго, така че се унищожават. И накрая имаш b2 по a1 по b3. Това е отрицателно. И после имаш положителната версия на същото нещо. Тези двете се унищожават. Можеш да видиш, че това също е равно на 0. Надявам се, че ти показах, че този вектор тук определено е ортогонален и на вектор а, и на вектор b. И това е понеже така е бил конструиран. Това е по определение. Можеш да направиш някои изчисления и без да ти обяснявам това определение можеш да намериш това определение самостоятелно. Но очевидно това е създадено така, че да има някои интересни свойства. Ще поговорим за това в следващите няколко видеа. Надявам се, че това ти беше полезно.