Въведение в линейна независимост

Да кажем, че имам множество от вектори – не искам да удебелявам символите. ( у нас поставяме стрелка над буквата). Нека един от векторите да е вектор [2; 3], а другият вектор да е вектор [4; 6]. И просто искам да отговоря на въпроса: Каква е линейната обвивка на тези вектори? Нека да приемем, че това са позиционни вектори. Кои са всички вектори, които тези два вектора могат да представят? Ако погледнеш въпроса, и, спомни си, линейната обвивка представлява всички вектори, които могат да се представят като линейни комбинации на тези два вектора. Значи това е множество от всички вектори, които, ако имаме някаква константа по 2, по този вектор, плюс някаква друга константа, то този вектор, това са всички възможни вектори, които мога да представя, когато просто взема различни реални числа за с1 и с2. Първото нещо, което може би осъзнаваш, е, че вторият вектор е същото нещо като два пъти първия вектор. Мога да го представя по следния начин. Мога да го представя като с1 по вектор [2; 3] плюс с2 по вектор... и тук, вместо да напиша по вектор [4; 6], ще запиша по 2 пъти вектор [2; 3], защото този вектор е просто мащабирана версия на този вектор. Значи мога да запиша с2 по 2 пъти [2; 3]. Мисля, че виждаш, че това е еквивалентно на [4; 6]. 2 по 2 е 4. 2 по 3 е 6. Това може малко да се опрости. Можем да преработим това като с1 + 2с2, всичко това по [2; 3], по нашия вектор [2; 3]. Това е само някаква произволна константа. Това е някаква произволна константа плюс 2 пъти по някаква друга произволна константа. Можем да го означим като с3 по нашия вектор [2; 3]. В този случай, въпреки че започнахме с два вектора, и казах, както знаеш, че линейната обвивка на тези два вектора е равна на всички вектори, които могат да бъдат построени в резултат на някаква линейна комбинация на тези, произволна комбинация на тези, ако аз просто използвам това заместване ето тук, това може да се сведе до произведение на някакво число по първия ми вектор. Можех да го направя и по обратния начин. Можех да заместя първия вектор да е равен на 1/2 по втория вектор, и просто да направя произволна комбинация като произведение на число по втория вектор. Но фактът е, че вместо да говоря за линейни комбинации на два вектора, аз мога да сведа това просто до произведение на число по единия вектор. Ние сме виждали в R2 комбинация на число и един вектор, особено ако става въпрос за позиционни вектори. Например този вектор [2; 3]. Той изглежда ето така. Всички произведения на този вектор с числа просто ще лежат на тази права. Значи [2; 3] ще бъде ето тук. Те всички ще лежат на тази права, върху тази права в двете посоки до безкрай. Ако умножа отрицателни числа по [2; 3], ще отида тук надолу. Ако умножа по положителни числа, ще отида насам. Ако взема големи положителни числа, ще отида тук нагоре. Но аз мога просто да представя векторите, и когато ги направя в стандартен вид, техните стрелки реално ще очертават тази права. Така че можеш да кажеш, че линейната обвивка на моето множество от вектори... ще го напиша ето тук. Линейната обвивка на множеството от векторите [2; 3] и [4; 6] е просто тази права ето тук. Въпреки, че имаме два вектора, те на практика са колинеарни. Те са мащабирани версии един на друг. Искам да кажа, че това са [2; 3] и [4; 6] ето тук. Този просто е толкова по-дълъг. Тези два вектора са колинеарни. В този случай, когато имаме два колинеарни вектора в R2, тяхната линейна обвивка се свежда до тази права. Не можеш да представиш вектор като... ще взема нов цвят. Не можеш да представиш този вектор ето тук с някаква комбинация от тези два вектора. Няма начин да се отделиш от тази права. Няма начин да представиш всичко в R2. Така че линейната обвивка е просто тази права тук. Свързах тази идея с това, и, обърни внимание, имаш два вектора, но те се свеждат до един вектор, когато вземеш линейните им комбинации. И свързаното понятие тук е, че наричаме това множество – наричаме ги линейно зависими. Ще го запиша: линейно зависими. Това е линейно зависимо множество. Линейно зависимо означава просто, че единият от векторите в множеството може да се представи като някаква комбинация на други вектори в множеството. Един начин да си представиш това е, че който и вектор да вземеш, който може да се представи чрез другите, това не добавя нови посоки или никаква нова информация, нали? В този случай вече имахме вектор, който сочи в тази посока, и когато вземем вектор [4; 6] ето тук, той има същата посока, просто е с по-голяма дължина. Той не добавя никакво ново измерение, за да ни позволи да се отдалечим от тази права, нали? И можеш да си представиш в три измерения, ако имаш един вектор, който изглежда така, и друг вектор, който изглежда ето така, два вектора, които не са колинеарни, те ще дефинират един вид двумерно пространство. Те могат да дефинират двумерно пространство. Да кажем, че това е равнината, дефинирана от тези два вектора. За да дефинираме R3 ни трябва трети вектор в множеството, който не трябва да е компланарен (да лежи в една равнина) с тези двата, нали? Ако този трети вектор е компланарен с тези двата, той не добавя нова посока, ново измерение. Това множество от три вектора също ще бъде линейно зависимо. Друг начин да си го представиш, е, че тези два виолетови вектора имат като линейна обвивка тази равнина, тази равнина е линейната обвивка, която дефинират, нали? Всичко в тази равнина, всичко, което отива в произволна посока, може... всеки вектор в тази равнина, когато казваме линейна обвивка, това означава, че всеки вектор може да бъде представен чрез линейна комбинация на този вектор и този вектор, което означава, че ако този вектор е в тази равнина, той може да бъде представен като линейна комбинация на този вектор и този вектор. Значи този зелен вектор, който добавих, няма да допринесе с нищо за линейната обвивка на множеството ни от вектори, защото това е линейно зависимо множество. Този може да се представи като линеен сбор от този вектор и този вектор, защото линейната обвивка на този и този вектор е тази равнина. За да може линейната обвивка на тези три вектора един вид да получи повече измерения или да бъде R3, третият вектор трябва да може да излезе извън тази равнина. Да може да се отдели от тази равнина. Ако векторът излезе от тази равнина, това означава, че това е вектор, който не може да бъде представен в тази равнина, че той е извън линейната обвивка на тези два вектора. Когато е отвън, той не може да се представи като линейна комбинация на този вектор и на този вектор. Така че, ако имаш този вектор, този вектор и този вектор, и само тези трите, никое от тези други неща, които начертах, тук ще имаме линейна независимост. Ще начертая още няколко примера. Това може би беше твърде абстрактно. Например, ако имаме векторите [2; 3], [7; 2] и [9; 5], и ако те попитам: Тези вектори линейно зависими или независими са? Веднага ще кажеш, че това не е лесен въпрос. Да видим, този вектор не е мащабирана версия на този. Този вектор не е мащабирана версия на никой от другите два. Може би те са линейно независими. Но после, ако се вгледаш, ще забележиш, че v, ако означим това като v1, плюс v2, ако означим това като v2, е равно на v3. Значи вектор v3 e линейна комбинация на другите два вектора. Следователно това е линейно зависимо множество. Ако трябва да го начертаем в двумерно пространство, и това е просто общата идея, че... да видим. Ще го начертая в R2. Това е общият принцип, че ако имаш три двумерни вектора, единият от тях е излишен. Да, единият от тях определено е излишен. Например, ако имаме вектор [2; 3], това е този първият тук. Ще го начертая в стандартна позиция. След това ще начертая вектор [7; 2] ето тук, и мога да ти покажа, че всяка точка в R2 може да бъде представена като някаква линейна комбинация на тези два вектора. Даже можем да го представим графично. Направих го в предишното видео, така че мога да напиша, че линейната обвивка на векторите v1 и v2 е R2. Това означава, че всеки вектор, всяка позиция тук, може да бъде представена чрез някоя линейна комбинация на тези два вектора. Вектор [9; 5] е в равнината R2. Това е R2, нали? Разбира се. Просто го начертах в тази равнина. Той е в нашето двумерно пространство на реални числа. Можем да го наречем пространство или в нашето множество R2. Той е тук. Ето тук. Току-що казахме, че всичко в равнината R2 може да се представи чрез линейна комбинация на тези два вектора. Очевидно е, че това е в R2, така че може да се представи като линейна комбинация. Надявам се, че започваш да виждаш връзката между линейната обвивка и линейната независимост или линейната зависимост. Ще дам друг пример. Нека да имаме векторите... ще използвам нов цвят. Нека да имаме вектора... и този ще е малко по-очевиден – вектор [7; 0], това е v1, а после имаме втори вектор, който е [0; –1]. Това е v2. Това множество линейно независимо ли е? Мога ли да представя някой от тези вектори като комбинация от другия? Когато казвам като комбинация, това означава да мащабираме единия вектор, за да получим другия, защото тук имаме само два вектора. Ако се опитам да добавя към този вектор, единственото нещо, което имам, е този другия вектор, така че мога само да го мащабирам. Но тук няма какво да направя. По каквото и да умножа този вектор, знаеш, някаква константа, и да го събера с него самия, или да го увелича, този компонент ето тук винаги ще бъде нула. Така че не мога да умножа по нищо този вектор, за да получа този вектор. По същия начин, няма значение по какво умножавам този вектор, горният компонент винаги ще бъде нула. Така че няма начин да получа този вектор. И двата вектора няма начин да бъдат представени като комбинация от другия. Те действително са линейно независими. И това се вижда даже като ги начертая. Първият, [7; 0] изглежда така. Ще използвам нежълт цвят. [7; 0]. Другият е [0; –1]. Мисля, че виждаш ясно, че ако вземеш линейна комбинация на някой от тези два вектора, можеш да представиш всичко в R2. Така че линейната обвивка на тези два вектора, линейната обвивка на v1 и v2 е равна на R2. Тук трябва да отбележа още нещо интересно. Казах, че линейната обвивка на v1 и v2 е R2. А каква е линейната обвивка на v1, v2 и v3 в този пример тук горе? Вече ти казах. Вече ти показах, че този трети вектор може да се представи като линейна комбинация на тези двата. Той е просто сборът на тези два вектора. Даже мога да го начертая ето тук. Той е просто сбор на тези два вектора. Очевидно е, че може да бъде представен като линейна комбинация на тези два вектора. И каква е линейната обвивка? Фактът, че този е излишен, означава, че не променя линейната обвивка. Той не променя всички възможни линейни комбинации. Така че неговата линейна обвивка също е R2. Тук просто имаме повече вектори, отколкото са нужни за линейната обвивка на R2. R2 е двумерно пространство и са нужни два вектора. Това е един по-икономичен начин за осигуряване на базис, аз не съм дефинирал базис формално досега, но просто искам да го използвам малко разговорно, и след това ще го разбереш, когато го дефинирам формално. Това осигурява по-добър базис, или това дава базис, един вид достатъчно множество от вектори, които представят R2. Докато този тук е излишен. Това не е добър базис за R2. Ще дам още един пример в три измерения. В следващото видео ще дам по-формално определение за линейна зависимост или независимост. Нека да имаме вектора [2; 0; 0]. Ще използвам същата логика, която използвах горе: вектор [2; 0; 0], вектор [0; 1; 0] и вектор [0; 0; 7]. Сега сме в R3, нали? Всеки от тези вектори е тримерен. Линейно зависими или линейно независими са тези вектори? Извинявам се, тези вектори линейно зависими ли са или независими? Добре, няма начин с някаква комбинация на тези два вектора да получим ненулев компонент тук, за да получим този трети вектор, нали? Каквото и да умножавам по това и по това, и по това, този последен компонент ще остане нула. Това е като добавяне на нова посока към нашето множество от вектори. По същия начин, няма нищо, което да направя, няма комбинация на този вектор и този вектор, при която да получа ненулев компонент тук. И, накрая, няма комбинация от този вектор и този вектор, която да даде ненулев компонент тук. Значи това множество е линейно независимо. Ако трябва да начертаем тези три измерения, ще видиш, че тези три вектора не лежат в една и съща равнина. Очевидно е, че всеки два от тях лежат в една равнина, но но ако искаш да ги начертаеш, ще получиш 2, 0... Да кажем, че това е оста х. Това е [2; 0; 0]. После имаме [0; 1; 0]. Може би това е оста у. И после имаме [0; 0; 7]. Ще изглежда горе-долу така. Изглежда почти... при три координатни оси, три измерения, изглеждат почти като векторите i, j, k. Малко са уголемени. Но винаги можеш да поправиш това, като ги намалиш, нали? Защото ни интересува всяка линейна комбинация от тези вектори. Така че линейната обвивка на тези три вектора ето тук, тъй като всеки от тях дава допълнителна посока, е R3. Добре, ще спра дотук. Знам, че правя все по-дълги видео клипове, а искам да се върна към навика да правя по-кратки. В следващото видео ще дам по-формално определение за линейна зависимост, както и ще видим още много примери.