Параметрично представяне на прави

Всичко, което правихме досега в линейната алгебра, може би ти се струва само като един по-труден начин да се направят нещата, които вече знаеш как да правиш. Вече си работил/а с вектори. Предполагам, че повечето ученици вече са работили с вектори в мат. анализ или във въведението по мат. анализ, или в часовете по физика. Но в това видео се надявам да ти покажа нещо, което ще правиш в линейната алгебра, което не си правил/а досега, и което щеше да е много трудно да се направи, ако не си гледал/а тези видеа. Ще започна и този път с различен начин да се направи нещо, което вече знаеш как да правиш. Нека само да дефинирам тук няколко вектора, и вместо да използвам удебелени букви, просто ще сложа стрелка отгоре (както е прието у нас). Ще дефинирам моя вектор като... мога да сложа стрелка отгоре или мога да го направя супер удебелен. Ще дефинирам моите вектори като вектори в R2. Да кажем, че моят вектор е [2; 1]. Ако го начертая в стандартна позиция, ще изглежда така. Отиваме две надясно и едно нагоре, ето така. Това е моят вектор v. Ако сега те попитам: кои са всички възможни вектори, които мога да създам? Ще дефинирам множество. Ще дефинирам множество, което е равно на... всички вектори, които създам, ако умножа v по някакво число, значи умножавам по някакво число с, някакъв скалар, по моя вектор v, и може би е малко формално, но ще кажа, че това с е част от множеството на реалните числа. Как да представя графично това множество? Ако начертая всички вектори в стандартна позиция, като с може да е всяко реално число, ако искаме да умножим примерно по с = 2. Ако с е 2, ще го направя по следния начин. Ако умножа 2 по нашия вектор, ще получа векторът [4;2]. Ще го начертая в стандартна позиция, [4; 2]. Ето го тук. Това е ето този вектор. Той е колинеарен с този първия вектор. Лежат на една и съща права, само че този отива с 2 по-далеч. Може да направя друг. Може да умножа 1,5 по нашия вектор v. Ще използвам различен цвят. И какво ще получим? Това е 1,5 по 2, получаваме [3; 1,5]. Къде ще ме отведе този вектор? Значи това е 1,5, после 3, и после 1,5. Ще стигна ето тук. Мога да умножа по всяко число. Мога да умножа вектора v по 1,4999 и ще стигна до ето тук. Мога да умножа –0,0001 по v. Ще го запиша. Ще умножа 0,001 по вектора v. И какво ще получа? Ще получа един супер малък вектор ето тук. Ако умножа по –0,001, ще получа супер малък вектор тук, който сочи в тази посока. Ако умножа по –10, ще получа вектор, който отива насам ето така. Вероятно се досещаш, че ако трябва да начертая всички вектори в стандартна позиция, всички те могат да бъдат представени като произволно реално число с... накрая ще начертая много вектори, като всички техни стрелки ще са подравнени по тази права ето тук, успоредни дори в отрицателна посока – само да се уверя, че ги чертая правилно, успоредно на правата, ето така. Предполагам, че схващаш идеята. Значи множество от колинеарни вектори. Ще го запиша. Множество от колинеарни вектори. Ако разглеждаме тези вектори като позиционни вектори, тогава този вектор представя точка в пространството R2, като това R2 просто е нашата ортогонална координатна система ето тук, във всички посоки... ако разглеждаме този вектор като позиционен вектор... ще запиша това – ако разглеждаме това като един вид координати в R2, тогава това множество, ако визуално го представим като множество от позиционни вектори, то ще се представя от цялата тази права ето тук. И искам да изясня това, защото това по принцип е права с наклон (ъглов коефициент) 2. Нали? Извинявам се, наклон 1/2. Издигането е 1. Издигаме се с 1 единица за изместване с 2 единици. Но не искам да се връщам чак толкова към алгебра 1. Просто искам да кажа, че това е права с наклон 1/2, която минава през началото на координатната система, това се получава ако начертая всички вектори в множеството в техния стандартен вид, или ако начертая всички вектори като позиционни вектори. Ако не направя това уточнение, мога да ги начертая тези вектори навсякъде. Нали? Защото мога да начертая този вектор [4; 2] ето тук. И след това, като кажа, че е колинеарен, това може би няма да е така очевидно за теб. Мисля, че тази колинеарност се вижда по-добре, ако решиш да начертаеш всички вектори в стандартен вид. Всички те започват от началото на координатната система и тогава тяхното начало е в началната точка на координатната система, а краищата им стигат до координатата, която представят. Ето това е смисълът на тези позиционни вектори. Не е задължително да са позиционни вектори, но за целите на това видео ще се придържаме към това. Сега мога да чертая само вектори, които започват от началото на координатната система и са с този наклон. Може да си мислиш, че един вид този вектор представя неговия наклон. Може да си го представиш като вектор на наклона, ако искаш, за да го свържеш с ученото в Алгебра 1. Ами ако искаме да представим други прави със същия наклон? Ако искаме да представим подобна права, или да кажем успоредна права, която минава през тази точка ето тук, през точката (2; 4)? Или ако разсъждаваме чрез позиционни вектори, можем да кажем, че тази точка се представя чрез този вектор, и ще го наречем х. Представя се чрез вектор х. Вектор х е равен на [2; 4]. Тази точка ето тук. Ако искам да представя правата, която е успоредна на тази, която минава през точката (2;4)? Искам да представя тази права ето тук. Ще я направя успоредна на тази, доколкото ми е възможно. Мисля, че разбираш идеята, и просто продължава така в двете посоки. Тези две прави са успоредни. Как мога да представя множеството от всички тези вектори, начертани в стандартен вид, или всички вектори, които, ако бяха в стандартен вид, щяха да представляват тази права? Можеш да разсъждаваш по следния начин. Ако всеки един от векторите, които представят правата, ако започна с произволен вектор, който лежи на правата, и добавя към него вектор х, ще стигна до съответната точка на тази права, в която искам той да бъде. Нали? Ако взема... Да кажем, че взема –2 по моя оригинал, така че –2 по вектор v, на колко ще е равно? [–4; –2], това е този вектор. Но ако искам да го събера с вектор х... Ако умножа –2 по моя вектор v, но искам да прибавя х към него, така че плюс х. Събирам с този вектор [2; 4], така че от тук отивам 2 надясно и 4 нагоре, значи ето тук. Визуално можеш просто да кажеш, начало към край, така че отивам ето тук. Ще се окажа в съответната точка ето тук. Когато дефинирам моето множество s като множество от всички точки, за които просто умножавам v по скалар, получавам този резултат, който преминава през началото на координатната система. Сега ще дефинирам друго множество. Ще дефинирам множеството l, (l като line), което е равно на множеството от всички вектори, където вектор х – ще го удебеля, или ще сложа просто стрелка отгоре – плюс някакъв скалар – мога да използвам с, но ще избера t, защото ще нарека това параметризация на правата – значи плюс някакъв скалар, t по вектор v, като t е произволно реално число. Какво ще получим? Ще получим тази синя права. Ако начертая всички тези вектори в стандартна позиция, ще получа синята права. Например, ако взема –2, това е –2 по вектор v, ще дойда тук. После добавям х и идвам тук. Значи този вектор ето тук има крайна точка ето тук... крайната точка лежи на тази права. Мога да приложа това към всичко. Ако взема този вектор, това е някакво число по моя вектор v, и ако прибавя х, ще получа този вектор, чиято крайна точка, ако разглеждаме позицията ѝ като вектор, това е крайната точка, която посочва някакви координати в равнината ху. Значи това ще дойде до тази точка. Мога да дойда до всеки от тези вектори. Това е множество от вектори, ето тук, и всички тези вектори имат посока... реално те всички имат някаква посока... когато ги начертая в стандартна позиция, те всички са насочени към точка от тази синя права. Сега можеш да кажеш: "Хей, Сал, това е много тъп начин да дефинираш права." В Алгебра 1 ние просто казахме, че у е равно на mx + b. Намирахме този наклон m, като опредяхме разликата между две точки, а после замествахме. Това се учи в седми и осми клас (по ам. програма). Това беше много лесно. Защо дефинирам това множество и те карам да разсъждаваш чрез множества и вектори, и сбор на вектори? Причината е, че това е много универсално. Горното уравнение на права работеше добре в R2. В R2 това беше страхотно. Там ни интересуват само хиксове и игреци. Но какво ще стане, ако... искам да кажа да обърнеш внимание, че в часовете по алгебра твоят учител никога не ти е казвал нищо, или поне моите учители не са казвали как да представим една права в три измерения? Може би в някои училища това се разглежда, но определено не се стига до представяне на права в четири измерения или сто измерения. А това ще ни послужи точно за тези ситуации. Тук дефинирах х и v като вектори в R2. Те са двумерни вектори, но можем да разширим това до произволен брой измерения. И за да доведем това до край, да видим още един пример в R2, като това е един вид класическа алгебрична задача, в която се търси уравнението на правата. Но тук ще я наречем дефиниционно множество на правата. Нека да имаме два вектора. Нека да имаме вектор "а", който ще дефинирам като... просто ще кажа, че е [2;1]. Ако го начертая в стандартен вид, това е вектор [2;1]. Това тук е моят вектор а. И нека да имаме вектор b, ще дефинирам вектор b. Ще го дефинирам като, да кажем, не знам, нека да е [0; 3]. Значи вектор b е 0 надясно и 3 нагоре. Вектор b изглежда ето така. Ще кажа, че това са позиционни вектори, които начертахме в стандартен вид. Когато ги чертаем в стандартен вид, тогава крайните им точки представляват някакви позиции. Можеш почти да ги разглеждаш като координати в R2. Това е R2. Тези координатни оси образуват R2. И сега ще те попитам каква е параметризацията на правата, която минава през тези точки. Това означава, че искам уравнението, ако използваме термините от Алгебра 1 – какво е уравнението на тази права, която минава през тези две точки? Класическият начин е да намериш наклона и всичко останало, а после да ги заместиш. Но вместо това можем да кажем: "Виж, тази права, която минава през тези две точки – можеш почти да кажеш, че тези два вектора лежат на... мисля, че така е по-добре – и двата вектора лежат на тази права. Сега, кой вектор може да бъде представен от тази права? Даже още по-точно: Кой вектор, ако взема произволен скалар, може да представи всеки друг вектор от тази права? Сега да го направим по следния начин. Ако вземем... Това тук е вектор b – какво получаваме, ако вземем b – а? Научихме, мисля че беше в предишното видео, че b – а дава този вектор ето тук. Това е разликата на двата вектора. Това е вектор b минус вектор а. Помисли върху това. Какво трябва да добавим към а, за да получим вектор b? Трябва да добавим (b – а). Ако мога да получа вектор (b – а)... добре, знаем как да направим това. Просто изваждаме векторите и после ги умножаваме по произволен скалар, тогава ще получим произволна точка от правата. Но трябва да внимаваме. Какво ще стане, ако взема t, някакъв скалар, по нашия вектор, t по векторите (b – а)? Какво ще получим тогава? (b – а) изглежда ето така. Но ако го начертаем в стандартен вид – спомни си, в стандартен вид (b – а) ще изглежда приблизително така. Нали? Ще започва от 0, ще е успореден на това, а после от нула ще начертаем неговата крайна точка. Така че, ако просто умножим някакъв скалар по (b – а), ще получим точки или вектори, които лежат на тази права. Вектори, които лежат на тази права ето тук. Това не е това, което искахме да направим. Ние търсехме уравнение, или параметризация, ако предпочиташ, на тази права, или на това множество. Нека наречем това множество l. Искаме да знаем на какво е равно това множество. За да получим това, трябва да започнем с това, което имаме, тази права тук, и трябва да я изместим. Можем да я изместим, като или я повдигнем направо нагоре, като прибавим вектор b към нея. Можем да вземем тази права ето тук, и да прибавим вектор b към нея. И тогава всяка точка от нея ще има съответстваща точка тук. Когато добавим вектор b, това на практика я повдига. Това ще проработи. Значи можем да кажем, че можем да прибавим вектор b към нея. И сега всички тези точки за някакво произволно число t от множеството на реалните числа ще лежи на тази зелена права. Другият начин да направим това е като прибавим вектор а. Вектор а ще вземе всяка произволна точка тук и ще я повдигне по този начин. Нали? Ще добавим вектор а към нея. И по двата начина ще получиш зелената права, която ни интересува, така че можеш също да дефинираш това като множество от вектори плюс правата, реално t по вектор (b – а), като t е реално число. Определението на моята права може да бъде всяко едно от тези двете. Определението на моята права може да е това множество или това множество. Всичко това изглежда много абстрактно, но когато реално използваш числа, тогава става много просто. Става даже по-просто от това, което правехме в Алгебра 1. Значи това l, за тези конкретни а и b, хайде да го намерим. Правата е равна на... ще използвам първия пример. Това е вектор b, който е векторът [0; 3] плюс t, по вектор (b – а). Колко е (b – а)? 0 минус 2 е –2; 3 минус 1 е 2, когато t принадлежи на множеството на реалните числа. Ако това все още изглежда като една овъртяно определение за теб, мога да го запиша с термини, които са ти по-добре познати. Ако искаме да начератем точки, ще наречем това оста у, а това оста х, и ако наречем това координата х, или може би по-правилно х-координата, и това у-координата, тогава можем да съставим уравнение. Това реално е х-наклонът. Това е х-координатата, а това е у-координатата. Даже още по-добре, когато... всъщност трябва да внимавам много. Това винаги ще бъде някакъв вектор [l1; l2]. Нали? Това е множество от вектори, и всеки член на това множество ще изглежда приблизително така. Това може да е li. Това е х-координатата, а това е у-координатата. И за да преобразуваме това във вид, който ти е познат, ще кажа, че това е множеството от този вектор x + t, по този вектор (b – а) ето тук. Ако искаме да го запишем в параметричен вид, можем да кажем, че понеже това определя х-координатата, можем да кажем, че х е равно на 0 плюс t по –2, или –2 по t. После можем да кажем, че у, понеже това определя нашата у-координата, казваме, че у е равно на 3 плюс t по 2, или плюс 2t. Можем да преработим първото уравнение, тъй като х е равно на –2t, а у е равно на 2t + 3. Ако гледаш видеото за параметрични уравнения, това е традиционното параметрично определение на тази права ето тук. Но все още може да си мислиш: "Сал, това е просто загуба на време, това е толкова объркано. Трябва да се дефинират всички тези множества и всичко останало." Но сега ще ти покажа нещо, което вероятно... освен ако не си го правил/а преди, но предполагам, че това важи за всичко. Но е по-вероятно да не си го виждал/а в часовете по алгебра. Да кажем, че имам две точки, и сега ще работя в три измерения. Да кажем, че имам един вектор. Ще го означа като точка 1, защото това са позиционни вектори. Просто ще го означа като позиция 1. Това е в три измерения. Ще си измисля някакви числа, –1, 2, 7. Да кажем, че имам точка 2. Повтарям, това е в три измерения, така че трябва да се посочат три координати. Това са х-, у- и z-координати. Точка 2, не знам... Нека да са 0, 3 и 4. Искам да намеря уравнението на правата, която минава през тези две точки в тримерното пространство R3. Значи това е в R 3. Току-що казах, че уравнението на тази права... просто ще означа това, или множеството на тази права... ще означа това като l. То ще е равно на – можем просто да изберем един от тези вектори, може да е Р1, вектор Р1, всичко това са вектори, трябва да внимаваме. Вектор Р1 плюс някакъв произволен параметър t, това t може да е време, както учихме преди с параметричните уравнения, по разликата на двата вектора, по Р1... и няма значение в какъв ред ги взимаме. Това също е хубаво нещо. Р1 минус Р2. Може да е също и Р2 минус Р1, защото това може да е всяка положителна или отрицателна стойност, като t принадлежи на множеството на реалните числа. Сега да приложим това към тези числа. Да го приложим тук. Колко е Р1 минус Р2? Р1 – Р 2 е равно на... само да си направя място. Р1 минус Р2 е равно на: –1 минус 0 е –1. 2 минус 3 е –1. 7 минус 4 е 3. И това нещо е този вектор. Така нашата права може да се опише като множество от вектори, които, ако трябва да построиш в стандартна позиция, това ще е множество от позиционни вектори. Това ще е Р1... ще използвам зелено – това ще е [–1; 2; 7]. Можех да сложа Р2 тук, няма проблем... плюс t, минус 1, минус 1, 3, където, или такива, че t е част от множеството на реалните числа. Но може би това също не ти се струва задоволително. Може би ще попиташ: "Как да начертая тези три измерения?" Къде са моите х, у и z? Ако искаш трите оси, х, у и z, тогава да кажем, че... ще сляза малко надолу – това е оста z. Това е оста х, това е оста у, която един вид пробива екрана ето така, а оста х е насам ето така. Какво можеш да направиш... всъщност може би няма да чертая... така че, за да определим х-координатата, или просто както е прието, това ще бъде този член ето тук. Можем да запишем, че х... ще го запиша. Този член определя х-координатата. Можем да запишем, че х е равно на –1... трябва да внимавам с цветовете – –1, плюс –1 по t. Това е нашата х-координата. у-координатата се определя от тази част на нашия векторен сбор, защото тези са у-координати. Можем да кажем, че у-координатата е равна на... ще го запиша така – 2 плюс –1 по t. И накрая z-координатата се определя от това тук, t също участва, защото имаме t по 3... или или просто ще сложа t във всичко това. Така че z-координатата е равна на 7 плюс t по 3, или мога да кажа плюс 3t. И ето така имаме три параметрични уравнения. Когато бяхме в R2, аз съставих параметричното уравнение, както учихме в Алгебра 1, можем да имаме само обикновено у, изразено чрез х. Не ти е нужно параметрично уравнение. Но когато работим с тримерно пространство R3, единственият начин да дефинираме една права е чрез параметрично уравнение. Ако имаме само уравнение с х, у и z, ако имаме само х + у + z е равно на някакво число, това не е права. Ще говорим още за това в R3. Това е равнина. Единственият начин да дефинираме права или крива в три измерения е, ако искаме да опишем траекторията на една муха в три измерения, тогава ни трябва параметрично уравнение. Или ако изстрелям снаряд в три измерения и той се движи по права линия, тогава ми трябва параметрично уравнение. Така че тези, предполагам, че мога да кажа така, това са уравненията на права в три измерения. Надявам се, че това ти беше интересно. Мисля, че това е първото видео, в което ще осъзнаеш, че линейната алгебра помага за решаване на задачи, каквито досега не си срещал/а. Няма причина да се ограничим до три измерения, до три координати, ето тук. Можем да го направим с петдесет измерения. Можем да дефинираме права в петдесет измерения, или множество от вектори, които дефинират права, която минава през две точки, в петдесет измерения, което е много трудно да се визуализира, но може да се реши математически.