Основно съдържание

12. клас (България) Общообразователна подготовка и преговор

Курс: 12. клас (България) Общообразователна подготовка и преговор > Раздел 1

Урок 3: Характеристики на разсейването

Изчисляване на стандартното отклонение стъпка по стъпка

Въведение

В тази статия ние ще научим как да изчислим стандартното отклонение "на ръка".

Интересно е, че в реалния свят няма статистици, които някога биха изчислявали стандартното отклонение на ръка. Изчисленията са сложни и рискът от допускането на грешка е висок. Също така изчисляването на ръка е много бавен процес. Ето защо статистиците разчитат на електронни таблици и компютърни програми за извършването на сложните пресмятания.

И така, каква е целта на тази статия? Защо отделяме време да изучаваме процес, който всъщност статистиците не използват? Отговорът е, че като се научим да изчисляваме на ръка, това ще ни даде поглед какво представлява стандартното отклонение. Този поглед отвътре е наистина ценен. Вместо да гледаме на стандартното отклонение като на някакви магически числа, предоставени от нашата електронна таблица или компютърна програма, ние ще сме способни да обясним от къде тези числа идват в действителност.

Преглед на това как се изчислява стандартното отклонение

Формулата за стандартно отклонение (СО) е

start text, С, О, end text, equals, square root of, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, end square root

където sum означава "сбор на", x е една стойност от набора данни, mu е средната стойност на набора данни, а N е броят точки информация в генералната съвкупност.

Формулата за стандартното отклонение може да изглежда объркваща, но ще придобие смисъл, след като я обясним. В следващите раздели ще преминем през един интерактивен пример стъпка по стъпка. Ето бърз преглед на стъпките, които ще следваме:

Стъпка 1: Намери средната стойност.

Стъпка 2: За всяка стойност, намери квадрата от разликата между конкретната стойност от набора данни и средната стойност.

Стъпка 3: Събери стойностите от стъпка 2.

Стъпка 4: Раздели на броя на стойностите от набора данни.

Стъпка 5: Изчисли корен квадратен от получената сума.

Важна забележка

Горната формула е за намиране на стандартното отклонение на генерална съвкупност. Ако работиш с извадка, трябва да използваш малко по-различна формула (по-долу), която използва n, minus, 1, вместо N. Целта на тази статия е да те запознае с процеса на изчисляване на стандартно отклонение, който като цяло е един и същ, без значение коя формула използваш.

start text, С, О, end text, start subscript, start text, и, з, в, а, д, к, а, end text, end subscript, equals, square root of, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, x, with, \bar, on top, close vertical bar, squared, divided by, n, minus, 1, end fraction, end square root

[Защо има две формули?]

Поетапен интерактивен пример за изчисляване на стандартното отклонение.

Първо ние се нуждаем от набор данни, с които да работим. Нека да изберем малък брой данни, така че да не се претоварим с голям брой стойности от набора данни. Ето тук един добър пример:

6, comma, 2, comma, 3, comma, 1

Стъпка 1: Намиране на start color #e07d10, mu, end color #e07d10 в square root of, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, start color #e07d10, mu, end color #e07d10, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, end square root

В тази стъпка намираме средната стойност на набора данни, която е представена чрез променливата mu.

Попълни празното място.

mu, equals

[Обясни]

Стъпка 2: Намиране на start color #e07d10, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, end color #e07d10 в square root of, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, start color #e07d10, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, end color #e07d10, divided by, N, end fraction, end square root

В тази стъпка ние намираме разликата между всяка стойност и средната стойност (т.е., отклонението) и квадрата на всяка от тези разлики.

Например първата стойност от данните е 6 и средната е 3, така че разликата между тях е 3. Квадратът на разликата е 9.

Попълни таблицата по - долу.

Точка информация x	Квадрат на разстоянието от средната стойност open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared
6	9
2	Отговорът ти трябва да бъде цяло число, като 6 несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5 несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4 смесено число като 1, space, 3, slash, 4 точна десетична дроб като 0, point, 75 кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
3	Отговорът ти трябва да бъде цяло число, като 6 несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5 несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4 смесено число като 1, space, 3, slash, 4 точна десетична дроб като 0, point, 75 кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
1	Отговорът ти трябва да бъде цяло число, като 6 несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5 несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4 смесено число като 1, space, 3, slash, 4 точна десетична дроб като 0, point, 75 кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

[Обясни]

Стъпка 3: Намиране на start color #e07d10, sum, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, end color #e07d10 в square root of, start fraction, start color #e07d10, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, end color #e07d10, divided by, N, end fraction, end square root

Знакът sum означава "сума", така че в тази стъпка ние събираме четирите стойности, които намерихме в стъпка 2.

Попълни празното място.

sum, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, equals

[Обясни]

Стъпка 4: Намиране на start color #e07d10, start fraction, sum, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, end color #e07d10 в square root of, start color #e07d10, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, end color #e07d10, end square root

В тази стъпка разделяме резултата от Стъпка 3 на променливата N, която е броят точки информация.

Попълни празното място.

start fraction, sum, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, equals

[Обясни]

Стъпка 5: Намиране на стандартното отклонение square root of, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, end square root

Ние сме почти готови! Просто изчисли корен квадратен от отговора от стъпка 4 и сме го направили.

Попълни празното място.
Закръгли получения отговор с точност до стотната след десетичния знак.

start text, С, О, end text, equals, square root of, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, end square root, approximately equals

[Обясни]

Да! Ние го направихме! Ние успешно изчислихме стандартното отклонение на малък набор данни.

Резюме на това, което направихме

Ние разбихме формулата в 5 стъпки:

Стъпка 1: Намери средната стойност mu.

mu, equals, start fraction, 6, plus, 2, plus, 3, plus, 1, divided by, 4, end fraction, equals, start fraction, 12, divided by, 4, end fraction, equals, start color #11accd, 3, end color #11accd

Стъпка 2: Намери квадрата на разликата от всяка точка информация до средната стойност open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared.

x		open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared
6		open vertical bar, 6, minus, start color #11accd, 3, end color #11accd, close vertical bar, squared, equals, 3, squared, equals, 9
2		open vertical bar, 2, minus, start color #11accd, 3, end color #11accd, close vertical bar, squared, equals, 1, squared, equals, 1
3		open vertical bar, 3, minus, start color #11accd, 3, end color #11accd, close vertical bar, squared, equals, 0, squared, equals, 0
1		open vertical bar, 1, minus, start color #11accd, 3, end color #11accd, close vertical bar, squared, equals, 2, squared, equals, 4

Стъпки 3, 4 и 5:

$\begin{aligned} \text{SD} &= \sqrt{\dfrac{\sum\limits_{}^{}{{\lvert x-\mu\rvert^2}}}{N}}\\\\\\\\ &= \sqrt{\dfrac{9 + 1 + 0 + 4}{4}} \\\\\\\\ &= \sqrt{\dfrac{{14}}{4}} ~~~~~~~~\small \text{Събери квадратите на разстоянията (Стъпка 3).} \\\\\\\\ &= \sqrt{{3,5}} ~~~~~~~~\small \text{Раздели на броя точки информация (Стъпка 4).} \\\\\\\\ &\approx 1,87 ~~~~~~~~\small \text{Намери корен квадратен (Стъпка 5).} \end{aligned}$

Опитай самостоятелно

Тук е едно напомняне за начина, по който се изчислява формулата:

start text, С, О, end text, equals, square root of, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, end square root

И тук е наборът от данни:

1, comma, 4, comma, 7, comma, 2, comma, 6

Намери стандартното отклонение за следното множество от данни.
Закръгли отговора до втория знак след десетичната запетая.

start text, С, О, end text, equals

[Обясни]

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.