Основно съдържание

12. клас (България) Общообразователна подготовка и преговор

Курс: 12. клас (България) Общообразователна подготовка и преговор > Раздел 1

Урок 3: Характеристики на разсейването

Преговор на стандартно отклонение на генерална съвкупност и извадка

Стандартно отклонение на генерална съвкупност и извадка

Стандартното отклонение измерва разсейването на разпределението на данните. То измерва обичайното разстояние между всяка точка информация и средната стойност.

Формулата, която използваме за стандартно отклонение, зависи от това дали самите данни се разглеждат като генерална съвкупност, или представляват извадка, която съответства на по-голяма генерална съвкупност.

Ако данните се разглеждат като генерална съвкупност, делим на броя точки информация, $N$ ‍.
Ако данните са извадка от по-голяма генерална съвкупност, делим на стойност с едно по-малка от броя точки информация в извадката, $n - 1$ ‍.

Стандартно отклонение на генералната съвкупност:

σ = \sqrt{\frac{\sum (x_{i} - μ)^{2}}{N}}

Стандартно отклонение на извадката:

s_{x} = \sqrt{\frac{\sum (x_{i} - \bar{x})^{2}}{n - 1}}

Стъпките във всяка формула са напълно еднакви, освен една – делим на едно по-малко от броя точки информация, когато работим с данни от извадка.

Ще преминем през всяка формула стъпка по стъпка в примерите по-долу.

Защо делим на $n - 1$ ‍ е доста сложна концепция. Ако искаш да научиш повече за логиката зад тази тема, виж това видео.

Стандартно отклонение на генералната съвкупност

Ето я отново формулата за стандартно отклонение на генералната съвкупност:

σ = \sqrt{\frac{\sum (x_{i} - μ)^{2}}{N}}

Ето как се изчислява стандартното отклонение на генералната съвкупност:

Стъпка 1: Изчисли средната стойност на всички данни – това е

μ

във формулата.

Стъпка 2: Извади средната стойност от всяка точка информация. Тези разлики се наричат отклонения. Точките информация под средната стойност ще имат отрицателни отклонения, а точките информация над средната стойност ще имат положителни отклонения.

Стъпка 3: Повдигни на квадрат всяко отклонение, за да го направиш положително.

Стъпка 4: Събери повдигнатите на квадрат отклонения.

Стъпка 5: Раздели сбора на броя точки информация в генералната съвкупност. Резултатът се нарича дисперсия.

Стъпка 6: Намери корен квадратен на дисперсията, за да получиш стандартното отклонение.

Пример: Стандартно отклонение на генералната съвкупност

Четирима приятели сравняват резултатите си от скорошно есе.

Изчисли стандартното отклонение на резултатите им:

6

2

3

1

Стъпка 1: Намери средната стойност.

μ = \frac{6 + 2 + 3 + 1}{4} = \frac{12}{4} = 3

Средната стойност е

3

точки.

Стъпка 2: Извади средната стойност от всеки резултат.

Резултат: $x_{i}$ ‍	Отклонение: $(x_{i} - μ)$ ‍
$6$ ‍	$6 - 3 = 3$ ‍
$2$ ‍	$2 - 3 = - 1$ ‍
$3$ ‍	$3 - 3 = 0$ ‍
$1$ ‍	$1 - 3 = - 2$ ‍

Стъпка 3: Повдигни всяко отклонение на квадрат.

Резултат: $x_{i}$ ‍	Отклонение: $(x_{i} - μ)$ ‍	Отклонение на квадрат: $(x_{i} - μ)^{2}$ ‍
$6$ ‍	$6 - 3 = 3$ ‍	$(3)^{2} = 9$ ‍
$2$ ‍	$2 - 3 = - 1$ ‍	$(- 1)^{2} = 1$ ‍
$3$ ‍	$3 - 3 = 0$ ‍	$(0)^{2} = 0$ ‍
$1$ ‍	$1 - 3 = - 2$ ‍	$(- 2)^{2} = 4$ ‍

Стъпка 4: Събери повдигнатите на квадрат отклонения.

9 + 1 + 0 + 4 = 14

Стъпка 5: Раздели сбора на броя резултати.

\frac{14}{4} = 3, 5

Стъпка 6: Намери квадратния корен от резултата от Стъпка 5.

\sqrt{3, 5} \approx 1, 87

Стандартното отклонение е приблизително

1, 87

Искаш да научиш повече за стандартно отклонение на генералната съвкупност? Гледай това видео.

Искаш да се упражняваш с повече подобни задачи? Виж това упражнение върху стандартно отклонение на генерална съвкупност.

Стандартно отклонение на извадката

Ето я отново формулата за стандартно отклонение на извадката:

s_{x} = \sqrt{\frac{\sum (x_{i} - \bar{x})^{2}}{n - 1}}

Ето как се изчислява стандартно отклонение на извадката:

Стъпка 1: Изчисли средната стойност на данните – това е

\bar{x}

във формулата.

Стъпка 3: Повдигни на квадрат всяко отклонение, за да го направиш положително.

Стъпка 4: Събери повдигнатите на квадрат отклонения.

Стъпка 5: Раздели сбора на едно по-малко от броя точки информация в извадката. Резултатът се нарича дисперсия.

Стъпка 6: Намери корен квадратен на дисперсията, за да получиш стандартното отклонение.

Пример: Стандартно отклонение на извадката

Била е взета извадка от

4

ученици, за да се види колко молива носили те.

Изчисли стандартното отклонение на извадката на отговорите им:

2

2

5

7

Стъпка 1: Намери средната стойност.

\bar{x} = \frac{2 + 2 + 5 + 7}{4} = \frac{16}{4} = 4

Средната стойност на извадката е

4

молива.

Стъпка 2: Извади средната стойност от всеки резултат.

Моливи: $x_{i}$ ‍	Отклонение: $(x_{i} - μ)$ ‍
$2$ ‍	$2 - 4 = - 2$ ‍
$2$ ‍	$2 - 4 = - 2$ ‍
$5$ ‍	$5 - 4 = 1$ ‍
$7$ ‍	$7 - 4 = 3$ ‍

Стъпка 3: Повдигни всяко отклонение на квадрат.

Моливи: $x_{i}$ ‍	Отклонение: $(x_{i} - \bar{x})$ ‍	Отклонение на квадрат: $(x_{i} - \bar{x})^{2}$ ‍
$2$ ‍	$2 - 4 = - 2$ ‍	$(- 2)^{2} = 4$ ‍
$2$ ‍	$2 - 4 = - 2$ ‍	$(- 2)^{2} = 4$ ‍
$5$ ‍	$5 - 4 = 1$ ‍	$(1)^{2} = 1$ ‍
$7$ ‍	$7 - 4 = 3$ ‍	$(3)^{2} = 9$ ‍

Стъпка 4: Събери повдигнатите на квадрат отклонения.

4 + 4 + 1 + 9 = 18

Стъпка 5: Раздели сбора на едно по-малко от броя точки информация.

\frac{18}{4 - 1} = \frac{18}{3} = 6

Стъпка 6: Намери квадратния корен от резултата от Стъпка 5.

\sqrt{6} \approx 2, 45

Стандартното отклонение на извадката е приблизително

2, 45

Искаш да научиш повече за стандартно отклонение на извадката? Гледай това видео.

Искаш да се упражняваш с подобни задачи? Виж това упражнение върху стандартно отклонение на извадка и генерална съвкупност.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.