Интересна тригонометрична задача - площ на шестоъгълник

Нека А (0; 0) и В (b; 2) са точки върху координатната система. Нека ABCDEF е изпъкнал равностранен шестоъгълник. Изпъкнал означава, че не е вдлъбнат. Един вдлъбнат шестоъгълник би изглеждал ето така: 2 страни, 3, 4, 5, 6. Това е вдлъбнат шестоъгълник. Нашият ще бъде "изхвръкнал" и всичките му страни ще бъдат равни. Той ще е равностранен шестоъгълник. Не ни е казано, че това е правилен шестоъгълник. Не знаем дали всички ъгли ще са еднакви. Но всички страни ще бъдат еднакви. И ъгъл FAB е равен на 120 градуса. След това имаме куп страни, които са успоредни една на друга. След това – координатите у на върховете са различни елементи от редицата 0, 2, 4, 6, 8, 10. Лицето на шестоъгълника може да бъде представено като m по корен квадратен от n, където m и n са положителни цели числа и n не е делимо на който и да е прост множител на квадрат. Това един прекрасен начин да кажем, че сме опростили този радикал доколкото е възможно. Трябва да намерим m плюс n. Наистина първата част... Нека се убедим, че можем да визуализираме този шестоъгълник. Нека да начертая... Знаем координатите на единия от върховете със сигурност – (0; 0). Нека начертая оста х (Ох). Това е Ох. А това е оста у (Оу). Моята Оу ще изглежда ето така. Оста у. Знаем, че връх А се намира в точката (0; 0). Това е връх А. Знаем, че всеки от върховете има координати у, които са от редицата 0, 2, 4, 6, 8, 10. Те са различни елементи от тази редица. Това означава, че нито една двойка върхове няма обща координата у. Следователно те няма да лежат на една и съща хоризонтална права. Нека да начертая тези хоризонтални прави. Ох е 0; след това имаме у равно на 2. След това имаме 4, 6, 8 и накрая имаме 10 тук горе. Вече знаем В. На първо място, приехме, че А е в точка (0; 0). 'А' вече е в началната точка. 'В' лежи в точката с координата у равна на 2. Ще пробвам да нанеса В ето тук – тя лежи някъде по този хоризонтал. Дължината на страната на шестоъгълника е s, за което не знаем на колко е равно, но пък всички страни са еднакви. Да наречем тази страна s. След като знаем, че това е равностранен шестоъгълник, значи всички страни ще бъдат с еднаква дължина. Ще изнесем тук точката с координати (b; 2). Не знаем колко е b, но това е нашият връх В. F е следващият връх, който е свързан с А. F не може да лежи върху тази хоризонтална права, не може да е в точката с координата у равно на 2, не може да е и в точката, където у е равно на 6, защото това разстояние ще е прекалено дълго. Много по-дълго от това разстояние тук. Или всъщност можеше и да стане. Но тогава нямаше да можем да начертаем наистина изпъкнал шестоъгълник. Следващият връх ще лежи на тази хоризонтална права, на разстояние с дължина s. Може би нещо такова. Нека да го начертая – това е следващият връх. Това е връх F, защото се движим така – A, B, C, D, E, F, и после обратно към А. Добре. А какво да кажем за връх С? Връх С не може да лежи на четвъртата хоризонтална права, следователно той ще бъде върху шестата хоризонтална права. Следователно връх С ще трябва да е някъде ето тук. Това е връх С. Отново – тази дължина е s. А връх Е? Не може да е на шестата хоризонтална права, там вече е връх С. Четвъртата и шестата са заети. Следователно ще трябва да лежи на осмата. А това е с дължина s. Знаем, че сега трябва да се върнем в началната точка. Това тук е връх Е. Знаем, че се връщаме към същата стойност на х. това ще е пресечната точка с Oу. Причината, поради която го знаем, е че това е с дължина s, и това е с дължина s. Тези диагонали, и двата, заемат еднакво вертикално разстояние. Тази основа е 4. Тази основа също е 4. Затова приемаме, че имаме два правоъгълни триъгълника. И двата имат основа 4 и хипотенуза s и ето тази обща страна. Този заема това пространство наляво, а този – това, като затваря фигурата. По същата логика тези тук трябва да се съединят с останалите. Сега можем да използваме координатата 10 – координатата у, равно на 10. Само нея не сме използвали още – за D. Тъй като тръгнахме по диагонала с дължина s и продължихме нагоре до 4, този път по същата логика имаме диагонал с дължина s, изкачваме се до 4 ето тук и се движим в посока навън на това разстояние. Когато се движим обратно в другата посока и стигаме до 4, ще поемем отново в същата посока. Следователно това ще е точно върху връх В. Координатите на D ще бъдат (b; 10). Координатата у тук е 10. И ето го нашият шестоъгълник. Начертахме го. А цялата тази информация за успоредните прави, която ни беше дадена... AB е успоредна на DE. Това тук е някак очевидно, BC е успоредна на EF. Дадено ни е също, че CD е успоредна на FA. Изглежда точно така, по начина, по-който го начертахме. Сега трябва да намерим лицето на този шестоъгълник. Като начало е добре да намерим първо на колко е равна дължината s. За да намерим s... Това ще бъде функция на степента на наклона на шестоъгълника. Можем да видим, че, тъй като ъглите в шестоъгълника не са равни, той е някак неправилен, малко изкривен. Но дължината на всички страни е еднаква. Нека да обозначим това като тита. Да обозначим ето този ъгъл тук с тита. След това ни е дадено, че ъгъл FAB е 120 градуса. Това е 120 градуса. Следователно този отляво ще бъде 180 минус 120 минус тита. 180 минус 120 е 60. Следователно този ъгъл е 60 минус тита. Направих това, защото имаме известна информация. Знаем, че сме се изкачили до 4 ето тук, както и, че сме се изкачили до 2 тук. Вероятно можем да използваме тази информация, за да намерим s, тъй като s е хипотенуза и в двата от тези правоъгълни триъгълника, които току-що построихме. Мога да начертая този правоъгълен триъгълник тук ето така. Имам s, имам и тита. Имам също и 2 – това е този правоъгълен триъгълник тук. Този триъгълник изглежда така. Този ъгъл е 60 минус тита. А тази височина тук е 4. Да видим какво можем да направим, за да намерим s. Този триъгълник отдясно този триъгълник определя синус от тита. Синус от тита е равен на срещулежащия катет върху хипотенузата. Равен е на 2 върху s. Този триъгълник ни показва, че синус – и, запомни, тази хипотенуза също е равна на s – че синус от 60 минус тита е равно на 4 върху s. Ако искаме да ги направим равни едно на друго, можем да умножим и двете страни по 2. Става 2 по синус от тита е равно на 4 върху s. Синус от 60 минус тита също е равно 4 върху s, значи стават равни едно на друго. Става 2 по синус от тита равно на синус от 60 минус тита. Сега можем да използваме някои от тригонометричните тъждества. Знаем, че синус от А минус В е същото... Синус от А минус В е равно на синус от А по косинус от В – или по-скоро тита, в този случай; синус от 60 минус тита... Това е стандартно тригонометрично тъждество, наречено – тъждество за сбор и разлика. Минус косинус от 60 по синус от тита. Всичко това е равно на 2 по синус от тита. Синус от 60 градуса е равно на корен квадратен от 3 върху 2. Косинус от 60 градуса е 1/2. Можем да добавим 1/2 синус от тита към двете страни. Какво ще получим? Ще получим 1/2 синус от тита... Тези ще се съкратят. После добавяме 1/2 синус от тита към 2 синус от тита, което е 4/2 синус от тита. Става 5/2 синус от тита. Просто добавяме 1/2 синус от тита към това. Става 5/2 синус от тита равно на корен квадратен от 3 върху 2 косинус от тита. Нали? Прибавихме 1/2 синус от тита и към двете страни, за да получим това. Можем да умножим и двете страни по 2, за да го опростим. Имам 5 синус от тита. 5 синус от тита е равно на квадратен корен от 3 косинус от тита. Сега искам да използвам тъждеството синус квадрат от тита плюс косинус квадрат от тита е равно на 1. Нека да повдигна на квадрат и двете страни. Това ще ни помогне и при този радикал. Ще получим 25 синус на квадрат от тита равно на квадратен корен от 3 на квадрат, равно на 3. Вместо да напишем косинус на квадрат от тита, нека да запишем просто 1 минус синус на квадрат от тита. Нали? Косинус на квадрат от тита е равно на 1 минус синус на квадрат от тита. Просто повдигнах на квадрат и двете страни. Нека да запиша това, което направих. Повдигнах на квадрат и двете страни. Имаме 25 синус на квадрат от тита е равно на 3 минус 3 синус на квадрат от тита. Можем да прибавим 3 синус на квадрат от тита към двете страни... Получаваме 28 синус на квадрат от тита равно на 3... Или – синус на квадрат от тита е равно на 3 върху 28. Дори можем да запишем, че синус от тита е равен на квадратен корен от 3 върху 28. Равно е на квадратен корен от 3 върху 28. Сега можем да го опростим. 28 е равно на 4 по 7, можем да го махнем, но това е достатъчно засега, ще го опростим по-късно, ако се налага. Понякога тези изрази се решават по-лесно. Имаме синус от тита. Можем да отнесем това към ето това s. Знаем, че – преди да намеся и това – че синус от тита е равен на 2 върху s или че s върху 2 е равно на 1 върху синус от тита. Или че s е равно на 2 върху синус от тита. Знаем колко е синус от тита – корен квадратен от 3 върху 28. Следователно s е равно на 2, делено на синус от тита. Все едно умножаваме по 1 върху синус от тита. Следователно имаме 2 по квадратен корен от 28 върху 3. И така намерихме нашето s – 2 по това нещо ето тук. Сега, след като вече знаем s, да видим дали можем да намерим лицето. Това, което веднага се набива на очи, е, че имаме ето този триъгълник с височина – или може би основа, ако го разглеждаме странично – равна на 8. А това разстояние тук можем да намерим като използваме питагоровата теорема. Защото знаем, че това разстояние тук е 4. Знаем, че това разстояние – хипотенузата – е равно на s. Следователно можем да кажем, че това тук е височината. Можем да кажем, че h на квадрат плюс 4 на квадрат – т.е. плюс 16 е равно на хипотенузата на квадрат, равно на s на квадрат. s на квадрат... s е ето това тук. Следователно, ако повдигнем s на квадрат, става 4 по 28 върху 3. И просто вадим 16 и от двете страни. Следователно h е равно на 4 по 28 върху 3 минус... Ако искаме да напишем 16 върху 3 или, ако искаме да е върху 3, тук ще стане минус 48 върху 3. Не искам да умножавам 4 по 28. Затова можем да запишем 48 като 4 по 12. Следователно в числителя ще имаме 4 по 28 минус 12 върху... Запомни, че това е h на квадрат. Трябваше да кажем – h на квадрат е равно на 4 по 28 минус 12 върху 3, което е равно на 4 по 16 върху 3, което е равно на 64 върху 3. Това е h на квадрат. Следователно h ще бъде равно на квадратен корен от това, което е 8 върху квадратен корен от 3. Следователно h е 8 върху квадратен корен от 3. Следователно, ако искаме да намерим лицето на цялото това... Нека първо намерим лицето на това малкото нещо ето тук. Това ще бъде h по 4... Мога да го напиша по два начина. Но нека просто да кажем, че това е h по 4 по 1/2. Ще стане 2 по... Следователно лицето на този триъгълник... Нека да го оцветя в синьо. Лицето на този триъгълник ще бъде h, което е равно на 8 върху квадратен корен от 3, по 4 по 1/2. Следователно това тук ще бъде 2 по 8 върху квадратен корен от 3 или 16 върху квадратен корен от 3. Следователно това тук е 16 върху квадратен корен от 3. Имаме вече една част – ето тази. А това тук ще има точно същото лице. След това имаме тази част, която ще има отново точно същото лице. Същата логика, същата основа, същата височина. Eднакви са. Имаме 4 такива триъгълника. Следователнo ще умножим по 4. Ако искаме да намерим това лице, което вече защриховах. Следователно 4 пъти по това. Имаме 64 върху квадратен корен от 3. Единственото лице, което ни остава да намерим, е лицето на този успоредник по средата. Знаем основата на успоредника. Основата на успоредника е 8. Просто трябва да намерим неговата височина. Отново можем да използваме питагоровата теорема. Ще нарека това... Вече използвахме h, но ще го използвам отново. Но трябва да запомниш, че това тук е различна височина. Тази основа тук е с дължина 2. Зная, че вече се чете трудно. Сега можем да запишем, че h на квадрат плюс 4 (2 на квадрат) е равно на s на квадрат. Вече намерихме на колко е равно s на квадрат. То беше равно на 4 по 28 върху 3. Нека извадим 4 и от двете страни. Имаме минус 12 върху 3. 12 е същото като 4 по 3. Следователно е равно на 4 по (28 минус 3). Става 4 по 25 върху 3, което е равно на 100 върху 3. Това е h на квадрат. Това h ще бъде равно на квадратен корен от това, което е равно на 10 върху квадратен корен от 3. Следователно това разстояние е 10 върху квадратен корен от 3. Ако търсим лицето на успоредника, то ще бъде равно на тази височина по основата му. Следователно ще стане 8 по 10 по квадратен корен от 3 или 80 по квадратен корен от 3. 80... О, не, нека да бъдем много внимателни! Тази височина беше 10 върху квадратен корен от 3. Следователно цялото лице на успоредника е 8 по 10 върху квадратен корен от 3. Става 80 по квадратен корен от 3. Ако съберем всичко заедно, цялото лице става равно на 64 по квадратен корен от 3 за тези четири триъгълника, плюс 80 върху квадратен корен от 3. Хайде да го съберем. Имаме 80 върху квадратен корен от 3 за успоредника плюс 64 върху квадратен корен от 3 за триъгълниците. Това е равно на 144 върху квадратен корен от 3. Можем да рационализираме знаменателя. Умножаваме по квадратен корен от 3 върху квадратен корен от 3. В знаменателя сега ще получим 3. 144 върху 3 ще бъде равно на колко? Ще бъде равно на 48. Нали? 3 по 40 е 120, 3 по 8 е 24. Следователно ще стане 48 по квадратен корен от 3. Това ще бъде лицето на целия шестоъгълник. И така, намерихме го – 48 по квадратен корен от 3. Ако искаме да намерим m плюс n, става равно на 48 плюс 3, което е 51. Това беше изморителна задача. Мозъкът ми прегря накрая. Беше ми трудно да следя нещата. Независимо от това се надявам да ти е харесала.