Основно съдържание

Курс: 12. клас (България) Общообразователна подготовка и преговор > Раздел 2

Урок 6: Еднаквости в равнината

Построяване на образи на фигури при осева симетрия

Как да построиш изображение при осева симетрия.

В тази статия ще намерим образи на различни фигури при различни симетрии.

Ос на симетрия

Осевата симетрия е трансформация, която действа като огледало: Тя отразява всички двойки точки точно на същите места от другата страна на оста на симетрия.

Оста на симетрия може да бъде определена от уравнение или от две точки, през които тя минава.

Част 1: Изобразяване на точки при осева симетрия

Нека проучим един пример на симетрия спрямо хоризонтална права

Иска се да намерим образа

A^{'}

на

A (- 6; 7)

при осева симетрия при

y = 4

Решение

Стъпка 1: Построй перпендикулярна отсечка от

A

до оста на симетрия и я измери.

Тъй като оста на симетрия е идеално хоризонтална, то права, която е перпендикулярна на нея, ще бъде идеално вертикална.

Стъпка 2: Продължи отсечката в същата посока и със същия размер.

Отговор:

A^{'}

е при

(- 6; 1)

Твой ред е!

Задача за упражнение

Начертай образа на точка $B (7; - 4)$ ‍ при симетрия спрямо правата $x = 2$ ‍.

Задача с повишена трудност

Какъв е образът на $(- 25; - 33)$ ‍ при осева симетрия с ос правата $y = 0$ ‍?

(

;

)

Правата

y = 0

е просто оста

x

, така че говорим за осева симетрия спрямо оста

x

Точката

(- 25; - 33)

се намира на

33

единици под оста

x

, така че нейният образ би трябвало да се намира на

33

единици над оста

x

. Образът трябва да има същата координата

x

като първообраза.

Следователно верният отговор е $(- 25; 33)$ ‍.

Нека проучим един пример на осева симетрия спрямо диагонална права

Иска се да намерим образа

C^{'}

на

C (- 2; 9)

при осева симетрия спрямо

y = 1 - x

Решение

Стъпка 1: Продължи перпендикулярната отсечка от

C

до оста на симетрия и я измери.

Тъй като оста на симетрия минава точно през диагоналите на квадратчетата от мрежата, то права, която е перпендикулярна на нея, трябва да минава през другия диагонал на квадратчетата. С други думи прави с наклони $1$ ‍ и $-1$ ‍ са винаги перпендикулярни.

За удобство нека измерим разстоянието в "диагонали":

Стъпка 2: Продължи отсечката в същата посока и със същия размер.

Отговор:

C^{'}

е при

(- 8; 3)

Твой ред е!

Задача за упражнение

Начертай образа на $D (3; - 5)$ ‍ при осева симетрия спрямо оста $y = x + 2$ ‍.

Задача с повишена трудност

Какъв е образът на $(- 12; 12)$ ‍при осева симетрия спрямо оста $y = x$ ‍?

(

;

)

Оста на симетрия е

y = x

, която има наклон

1

, така че перпендикулярната ѝ права трябва да има наклон

- 1

. Тъй като този перпендикуляр трябва да минава през

(- 12; 12)

, подходящото уравнение е просто

y = - x

За да намерим образа на

(- 12; 12)

, трябва да се придвижим по дължината на

y = - x

на определено разстояние, докато не достигнем до пресичането с

y = x

, и след това да продължим със същото разстояние до точката на образа.

Правите

y = x

y = - x

се пресичат в началото на координатната система

(0; 0)

, което е на

12

диагонала от

(- 12; 12)

. Следователно изображението е на разстояние

12

диагонала в другата посока, което е точката $(12; - 12)$ ‍.

Част 2: Изобразяване на многоъгълници при осева симетрия

Нека разгледаме една примерна задача

Разгледай правоъгълника

E F G H

, начертан по-долу. Нека начертаем неговия образ

E^{'} F^{'} G^{'} H^{'}

при осева симетрия с ос правата

y = x - 5

Решение

При построяване на образа на даден многоъгълник при осева симетрия просто трябва да построим образите на всички върхове (подобно на начина, по който транслираме или завъртаме многоъгълници).

Ето първоначалните върхове и техните образи. Обърни внимание, че

E

F

H

бяха от другата страна на оста на симетрия като

G

. Същото важи и за техните образи, но сега са на противоположната страна!

Сега просто свързваме върховете.

Твой ред е!

Задача 1

Начертай образите на отсечките $\overset{―}{I J}$ ‍ и $\overset{―}{K L}$ ‍ при осева симетрия с ос правата $y = - 3$ ‍.

Задача 2

Начертай образа на $△ M N O$ ‍ при осева симетрия спрямо ос правата $y = - 1 - x$ ‍.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.