If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Курс: 12. клас (България) Общообразователна подготовка и преговор > Раздел 2

Урок 11: Системи линейни уравнения с две неизвестни

Системи от уравнения с елиминиране

Разглеждане на примери за решаване на системи от уравнения с елиминиране.
В тази статия ще разгледаме как се решават системи от линейни уравнения с така наречения метод на елиминиране. Първо трябва да разберем, че няма проблем да съберем уравненията едно с друго.
Ключова идея: Всеки път, когато имаме две верни уравнения или равенства, можем да ги съберем или извадим, за да образуваме друго вярно уравнение или равенство.
Например ето две много прости верни равенства:
2=2
5=5
Можем да съберем тези равенства, за да образуваме друго вярно равенство:
2=2+    5=57=7
Или можем да извадим тези равенства, за да образуваме друго вярно равенство:
2=2    5=53=3
Ето друг пример с по-сложни уравнения:
2x+3=7+    4x+1=96x+4=16
Чудесно! Сега като виждаме, че няма проблем да събираме или изваждаме уравненията, можем да преминем към решаването на система от уравнения, като използваме метода на елиминиране.

Решаване на система от уравнения чрез метода на елиминиране

Ще решим тази система от уравнения като пример:
x+3y=8        Уравнение 1
4x3y=17        Уравнение 2
Трудното нещо при решаването е, че има две променливи x и y. Ако можехме да се отървем от едната променлива...
Ето една идея! Нека съберем двете уравнения, за да съкратим променливата y:
x+3y=8+    4x3y=175x+0=25
Брилянтно! Сега имаме едно уравнение само с променливата x, което знаем как да решим:
5x+0=255x=25 x=5Раздели всяка страна на 5
Екстра! Нека използваме първото уравнение, за да намерим y, когато x е равно на 5:
x+3y=8Уравнение 15+3y=8Замести х с 53y=3Извади 5 от всяка странаy=1Раздели всяка страна на 3
Чудесно! Следователно решението на системата от уравнения е (5;1).
Използвай метода на елиминиране, за да решиш следната система от уравнения.
4y2x=4
5y+2x=23
x=
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3/5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7/4
  • смесено число като 1 3/4
  • точна десетична дроб като 0.75
  • кратно на ПИ като 12 pi или 2/3 pi
y=
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3/5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7/4
  • смесено число като 1 3/4
  • точна десетична дроб като 0.75
  • кратно на ПИ като 12 pi или 2/3 pi

Умножаване на едното от уравненията по някаква константа и след това използване на метода на елиминиране

Последният пример се получи добре, защото се отървахме от променливата y, когато събрахме уравненията. Понякога не е чак толкова лесно.
Използвай тази система от уравнения като пример:
6x+5y=28        Уравнение 1
3x4y=1        Уравнение 2
Ако съберем тези уравнения, нито променливата x, нито променливата y ще бъде елиминирана, така че това няма да ни свърши работа. Ето стъпките за задачи като тази:
Стъпка 1: Умножи едното от уравненията по някаква константа, за да можем да се отървем от едната променлива, когато го съберем с другото уравнение.
2(3x4y)=2(1)Умножи второто уравнение по26x+8y=2Опрости, за да получиш ново уравнение
Стъпка 2: Прибави новото уравнение към уравнението, което не използвахме в стъпка 1, за да елиминираш една от променливите.
6x+5y=28Уравнение 1+ 6x+8y=2Новото уравнение13y=26
Стъпка 3: Намери колко е y.
13y=26y=2Раздели двете страни на 13
Стъпка 4: Замести с y=2 в едно от първоначалните уравнения и намери колко е x.
3x4y=1Уравнение 23x4(2)=1Замести у с 23x8=13x=9Прибави 8 към всяка странаx=3Раздели всяка страна на 3
Следователно решението е (3;2).
Използвай метода на елиминиране, за да решиш следната система от уравнения.
8x+14y=12
6x7y=16
x=
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3/5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7/4
  • смесено число като 1 3/4
  • точна десетична дроб като 0.75
  • кратно на ПИ като 12 pi или 2/3 pi
y=
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3/5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7/4
  • смесено число като 1 3/4
  • точна десетична дроб като 0.75
  • кратно на ПИ като 12 pi или 2/3 pi

Умножаване на двете уравнения по някаква константа и след това използване на метода на елиминиране

Понякога ще трябва да умножим двете уравнения по някаква константа, когато използваме метода на елиминиране.
Например разгледай тази система от уравнения:
5x+3y=14        Уравнение 1
3x+2y=8        Уравнение 2
Ето стъпките за решаване на една система от уравнения като тази:
Стъпка 1: Умножи всяко уравнение по някаква константа, за да можем да елиминираме едната променлива.
5x+3y=14Умножи по 210x+6y=28
3x+2y=8Умножи по 39x+6y=24
Стъпка 2: Обедини новите уравнения, за да елиминираш едната променлива.
10x+6y=289x+6y=24x+0=4Извади уравненията
Стъпка 3: Замести с x=4 в едно от първоначалните уравнения и намери y.
3x+2y=8Уравнение 23(4)+2y=8Замести х с 412+2y=82y=4Извади 12 от всяка странаy=2Раздели всяка страна на 2
Следователно решението е (4;2).
Използвай метода на елиминиране, за да решиш следната система от уравнения.
5x+4y=14
3x+6y=6
x=
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3/5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7/4
  • смесено число като 1 3/4
  • точна десетична дроб като 0.75
  • кратно на ПИ като 12 pi или 2/3 pi
y=
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3/5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7/4
  • смесено число като 1 3/4
  • точна десетична дроб като 0.75
  • кратно на ПИ като 12 pi или 2/3 pi

Да се упражняваме малко!

1) Използвай метода на елиминиране, за да решиш следната система от уравнения.
3y+x=7
2yx=2
x=
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3/5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7/4
  • смесено число като 1 3/4
  • точна десетична дроб като 0.75
  • кратно на ПИ като 12 pi или 2/3 pi
y=
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3/5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7/4
  • смесено число като 1 3/4
  • точна десетична дроб като 0.75
  • кратно на ПИ като 12 pi или 2/3 pi

2) Използвай метода на елиминиране, за да решиш следната система от уравнения.
7y4x=1
7y2x=53
x=
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3/5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7/4
  • смесено число като 1 3/4
  • точна десетична дроб като 0.75
  • кратно на ПИ като 12 pi или 2/3 pi
y=
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3/5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7/4
  • смесено число като 1 3/4
  • точна десетична дроб като 0.75
  • кратно на ПИ като 12 pi или 2/3 pi

3) Използвай метода на елиминиране, за да решиш следната система от уравнения.
9y+4x20=0
7y+16x80=0
x=
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3/5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7/4
  • смесено число като 1 3/4
  • точна десетична дроб като 0.75
  • кратно на ПИ като 12 pi или 2/3 pi
y=
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3/5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7/4
  • смесено число като 1 3/4
  • точна десетична дроб като 0.75
  • кратно на ПИ като 12 pi или 2/3 pi

4) Използвай метода на елиминиране, за да решиш следната система от уравнения.
3x11y=1
2x5y=3
x=
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3/5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7/4
  • смесено число като 1 3/4
  • точна десетична дроб като 0.75
  • кратно на ПИ като 12 pi или 2/3 pi
y=
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3/5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7/4
  • смесено число като 1 3/4
  • точна десетична дроб като 0.75
  • кратно на ПИ като 12 pi или 2/3 pi

Задача с повишена трудност

Едно училище продава билети за една игра. През първия ден от продажбата училището е продало 6 билета за възрастни и 10 ученически билета с обща стойност 140 долара. През втория ден от продажбата училището е продало 7 билета за възрастни и 3 ученически билета на обща стойност 94 долара.
Напиши и реши система от уравнения, за да намериш каква е цената на билет за възрастен и каква е цената на ученически билет.
Цената за един билет за възрастен е
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3/5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7/4
  • смесено число като 1 3/4
  • точна десетична дроб като 0.75
  • кратно на ПИ като 12 pi или 2/3 pi
долара.
Цената на един ученически билет е
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3/5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7/4
  • смесено число като 1 3/4
  • точна десетична дроб като 0.75
  • кратно на ПИ като 12 pi или 2/3 pi
долара.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.