Основно съдържание

Курс: 12. клас (България) Общообразователна подготовка и преговор > Раздел 2

Урок 11: Системи линейни уравнения с две неизвестни

Системи от уравнения със заместване

Класна стая на Google

Разглеждане на примери за решаване на системи от уравнения със заместване.

Нека се опитаме да решим следната система от уравнения:

$y = 2 x Уравнение 1$ ‍

$x + y = 24 Уравнение 2$ ‍

Сложното е, че има две променливи,

x

y

. Само ако можехме да се отървем от едната променлива...

Ето една идея! Уравнение

1

ни казва, че

2 x

y

са равни. Затова можем да заместим

y

2 x

в Уравнение

2

, за да се отървем от променливата

y

в това уравнение:

$\begin{aligned} x + y & = 24 & Уравнение 2 \\ x + 2 x & = 24 & Замести с 2x за y \end{aligned}$ ‍

Брилянтно! Сега имаме едно уравнение само с променливата

x

, което знаем как да решим:

$\begin{aligned} x + 2 x & = 24 \\ 3 x & = 24 \\ \frac{3 x}{3} & = \frac{24}{3} & Раздели всяка страна на 3 \\ x & = 8 \end{aligned}$ ‍

Чудесно! Следователно знаем, че

x

е равно на

8

. Но не забравяй, че търсим наредена двойка. Трябва ни също и стойност на

y

. Нека използваме първото уравнение, за да намерим

y

, когато

x

е равно на

8

$\begin{aligned} y & = 2 x & Уравнение 1 \\ y & = 2 (8) & Замести с 8 за x \\ y & = 16 \end{aligned}$ ‍

Чудесно! Следователно решението на системата от уравнения е

(8; 16)

. Винаги е добра идея да провериш решението, като заместиш в първоначалните уравнения, просто за да сме сигурни.

Нека проверим първото уравнение:

$\begin{aligned} y & = 2 x \\ 16 & \overset{?}{=} 2 (8) & Замести x = 8 и y = 16 \\ 16 & = 16 & Да! \end{aligned}$ ‍

Нека проверим второто уравнение:

$\begin{aligned} x + y & = 24 \\ 8 + 16 & \overset{?}{=} 24 & Замести x = 8 и y = 16 \\ 24 & = 24 & Да! \end{aligned}$ ‍

Чудесно!

(8; 16)

е наистина решение. Не би трябвало да сме направили никакви грешки.

Твой ред е да решиш система от уравнения, като използваш метода на заместване.

Използвай метода на заместване в следната система от уравнения.

$4 x + y = 28$ ‍

$y = 3 x$ ‍

x =

y =

Намиране първо на една променлива и след това използване на метода на заместване

Понякога използването на метода на заместване е малко по-сложно. Ето друга система от уравнения:

$- 3 x + y = - 9 Уравнение 1$ ‍

$5 x + 4 y = 32 Уравнение 2$ ‍

Забележи, че в нито едно от тези уравнения все още не сме изразили

x

или

y

. Затова първата стъпка е да изразим или

x

, или

y

. Ето как става това:

Стъпка 1: Изрази в едно от уравненията една от променливите.

Нека изразим $y$ ‍ в първото уравнение:

$\begin{aligned} - 3 x + y & = - 9 & Уравнение 1 \\ - 3 x + y + 3 x & = - 9 + 3 x & Прибави 3x към всяка страна \\ y & = - 9 + 3 x \end{aligned}$ ‍

Стъпка 2: Замести това уравнение в другото уравнение и намери $x$ ‍.

$\begin{aligned} 5 x + 4 y & = 32 & Уравнение 2 \\ 5 x + 4 (- 9 + 3 x) & = 32 & Замести у с (-9 + 3x) \\ 5 x - 36 + 12 x & = 32 \\ 17 x - 36 & = 32 \\ 17 x & = 68 \\ x & = 4 & Раздели всяка страна на 17 \end{aligned}$ ‍

Стъпка 3: Замести с $x = 4$ ‍ в едно от първоначалните уравнения и намери $y$ ‍.

$\begin{aligned} - 3 x + y & = - 9 & Първото уравнение \\ - 3 (4) + y & = - 9 & Замести х с 4 \\ - 12 + y & = - 9 \\ y & = 3 & Прибави 12 към двете страни на равенството \end{aligned}$ ‍

Така че решението не е

(4; 3)

Нека проверим първото уравнение:

$\begin{aligned} - 3 x + y & = - 9 \\ - 3 (4) + 3 & \overset{?}{=} - 9 & Замести x = 4 и y = 3 \\ - 9 & = - 9 & Да! \end{aligned}$ ‍

Нека проверим второто уравнение:

$\begin{aligned} 5 x + 4 y & = 32 \\ 5 (4) + 4 (3) & \overset{?}{=} 32 & Замести x = 4 и y = 3 \\ 32 & = 32 & Да! \end{aligned}$ ‍

Чудесно!

(4; 3)

наистина е решение. Не би трябвало да сме допуснали никакви грешки.

Да се упражняваме малко!

1) Използвай метода на заместване, за да решиш следната система от уравнения.

$2 x - 3 y = - 5$ ‍

$y = x - 1$ ‍

x =

y =

2) Използвай метода на заместване, за да решиш следната система от уравнения.

$- 7 x - 2 y = - 13$ ‍

$x - 2 y = 11$ ‍

x =

y =

Нека изразим

x

от второто уравнение:

$\begin{aligned} x - 2 y & = 11 \\ x & = 11 + 2 y \end{aligned}$ ‍

Сега можем да заместим това в първото уравнение:

$\begin{aligned} - 7 x - 2 y & = - 13 \\ - 7 (11 + 2 y) - 2 y & = - 13 & Замести х с (11 + 2y) \\ - 77 - 16 y & = - 13 \\ - 16 y & = 64 \\ y & = - 4 \end{aligned}$ ‍

Сега нека намерим

x

$\begin{aligned} x & = 11 + 2 y \\ x & = 11 + 2 (- 4) & Замести у с -4 \\ x & = 3 \end{aligned}$ ‍

Решението:

$x = 3$ ‍

$y = - 4$ ‍

3) Използвай метода на заместване, за да решиш следната система от уравнения.

$- 3 x - 4 y = 2$ ‍

$- 5 = 5 x + 5 y$ ‍

x =

y =

Нека изразим

x

от второто уравнение:

$\begin{aligned} - 5 & = 5 x + 5 y \\ - 1 & = x + y & Раздели на 5 \\ x & = - 1 - y \end{aligned}$ ‍

Сега можем да заместим това в първото уравнение:

$\begin{aligned} - 3 x - 4 y & = 2 \\ - 3 (- 1 - y) - 4 y & = 2 & Замести х с (-1-y) \\ 3 - y & = 2 \\ - y & = - 1 \\ y & = 1 \end{aligned}$ ‍

Сега нека намерим

x

$\begin{aligned} x & = - 1 - y \\ x & = - 1 - (1) \\ x & = - 2 \end{aligned}$ ‍

Решението:

$x = - 2$ ‍

$y = 1$ ‍

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.