If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Логаритми: въведение

Какво е логаритъм и как се пресмята. 

Какво трябва да знаеш, преди да започнеш този урок

Би трябвало да си запознат/а със степените, за предпочитане включително степени със степенен показател отрицателно число.

Какво ще научиш в този урок

В този урок ще научиш какво е логаритъм и как се пресмята. След това ще си добре подготвен/а за работа с логаритмични изрази и функции.

Какво е логаритъм?

Логаритмите са друг начин за представяне на степените.
Знаем например, че start color #11accd, 2, end color #11accd повдигнато на start color #0d923f, 4, end color #0d923f, start superscript, start text, negative, т, а, end text, end superscript степен е равно на start color #e07d10, 16, end color #e07d10. Това може да се изрази чрез логаритми (в логаритмична форма) посредством следното равенство: start color #11accd, 2, end color #11accd, start superscript, start color #0d923f, 4, end color #0d923f, end superscript, equals, start color #e07d10, 16, end color #e07d10.
Сега да предположим, че някой ни пита: "start color #11accd, 2, end color #11accd повдигнато на коя степен е равно на start color #e07d10, 16, end color #e07d10?" Отговорът ще бъде start color #0d923f, 4, end color #0d923f. Това се изразява чрез логаритмичното равенство log, start base, start color #11accd, 2, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 16, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #0d923f, 4, end color #0d923f, което се чете като "логаритъм от шестнадесет с основа две е четири".
start color #11accd, 2, end color #11accd, start superscript, start color #0d923f, 4, end color #0d923f, end superscript, equals, start color #e07d10, 16, end color #e07d10, \Longleftrightarrow, log, start base, start color #11accd, 2, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 16, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #0d923f, 4, end color #0d923f
Двете равенства описват една и съща връзка между числата start color #11accd, 2, end color #11accd, start color #0d923f, 4, end color #0d923f и start color #e07d10, 16, end color #e07d10, където start color #11accd, 2, end color #11accd е основата, а start color #0d923f, 4, end color #0d923f е степенният показател.
Разликата между двата начина на представяне е, че при запис в експоненциална форма в резултат получаваме самата степен – start color #e07d10, 16, end color #e07d10, а при запис в логаритмична форма в резултат получаваме степенния показател – start color #1fab54, 4, end color #1fab54.
Ето още примери за еквивалентни равенства, записани в логаритмична и експоненциална форма.
Логаритмична формаЕкспоненциална форма
log, start base, start color #11accd, 2, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 8, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 3, end color #1fab54\Longleftrightarrowstart color #11accd, 2, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 8, end color #e07d10
log, start base, start color #11accd, 3, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 81, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 4, end color #1fab54\Longleftrightarrowstart color #11accd, 3, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 81, end color #e07d10
log, start base, start color #11accd, 5, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 25, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 2, end color #1fab54\Longleftrightarrowstart color #11accd, 5, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 2, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 25, end color #e07d10

Определение за логаритъм

Обобщаването на горните примери на води до официалното определение за логаритъм.
log, start base, start color #11accd, b, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, a, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, c, end color #1fab54, \Longleftrightarrow, start color #11accd, b, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, c, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, a, end color #e07d10
Двете равенства описват една и съща връзка между start color #e07d10, a, end color #e07d10, start color #11accd, b, end color #11accd и start color #0d923f, c, end color #0d923f:
  • start color #11accd, b, end color #11accd е start color #11accd, start text, о, с, н, о, в, а, т, а, end text, end color #11accd,
  • start color #0d923f, c, end color #0d923f е start color #0d923f, start text, с, т, е, п, е, н, н, и, я, т, space, п, о, к, а, з, а, т, е, л, end text, end color #0d923f, а
  • start color #e07d10, a, end color #e07d10 се нарича start color #e07d10, start text, а, р, г, у, м, е, н, т, end text, end color #e07d10.

Полезна забележка

Когато преобразуваш равенство, съдържащо степени, в логаритмичен вид, или логаритмично равенство във вид със степени, полезно е да помниш, че основата на логаритъма е същата като основата на степента.

Провери знанията си

Преобразувай следните равенства в равенства със степени и равенства с логаритми.
Задача 1
Кой от следните изрази е еквивалентен на израза 2, start superscript, 5, end superscript, equals, 32?
Избери един отговор:
Избери един отговор:

Задача 2
Кой от следните изрази е еквивалентен на израза 5, cubed, equals, 125?
Избери един отговор:
Избери един отговор:

Задача 3
Представи израза log, start base, 2, end base, left parenthesis, 64, right parenthesis, equals, 6 като израз, съдържащ степени.

Задача 4
4) Представи log, start base, 4, end base, left parenthesis, 16, right parenthesis, equals, 2 като израз, съдържащ степени.

Пресмятане на логаритми

Чудесно! Сега, когато разбираме връзката между изрази със степени и изрази с логаритми, нека да видим дали можем да пресмятаме логаритми.
Например нека пресметнем log, start base, 4, end base, left parenthesis, 64, right parenthesis.
Нека започнем, като кажем, че този израз е равен на x.
log, start base, 4, end base, left parenthesis, 64, right parenthesis, equals, x
Ако запишем това като равенство със степени, получаваме следното:
4, start superscript, x, end superscript, equals, 64
4 на коя степен е 64? start color #11accd, 4, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 64, end color #e07d10, тоест log, start base, start color #11accd, 4, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 64, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 3, end color #1fab54.
Като придобиеш повече практика, може да започнеш да съкращаваш някои от тези стъпки и да пресмяташ log, start base, 4, end base, left parenthesis, 64, right parenthesis просто като се запиташ: "4 на коя степен е 64?"

Провери знанията си

Помни, когато пресмяташ log, start base, start color #11accd, b, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, a, end color #e07d10, right parenthesis, можеш да се запиташ: "start color #11accd, b, end color #11accd на коя степен е start color #e07d10, a, end color #e07d10?"
Задача 5
log, start base, 6, end base, left parenthesis, 36, right parenthesis, equals
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Задача 6
log, start base, 3, end base, left parenthesis, 27, right parenthesis, equals
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Задача 7
log, start base, 4, end base, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Задача 8
log, start base, 5, end base, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Задача с повишена трудност
log, start base, 3, end base, left parenthesis, start fraction, 1, divided by, 9, end fraction, right parenthesis, equals
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Ограничения на променливите

log, start base, b, end base, left parenthesis, a, right parenthesis е дефиниран, когато основата b е положителна – и не е равна на 1 – и аргументът a е положителен. Тези ограничения са резултат от връзката между логаритми и степени.
ОграничениеПричина
b, is greater than, 0В една показателна функция основата b винаги се дефинира като положителна.
a, is greater than, 0log, start base, b, end base, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, c означава, че b, start superscript, c, end superscript, equals, a. Понеже едно положително число, повдигнато на която и да е степен, е положително, това означава, че b, start superscript, c, end superscript, is greater than, 0, следва, че a, is greater than, 0.
b, does not equal, 1За момент предположи, че b може да е 1. Сега помисли върху уравнението log, start base, 1, end base, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, x. Еквивалентният му вид, съдържащ степени, би бил 1, start superscript, x, end superscript, equals, 3. Но това никога не може да бъде вярно, тъй като 1 на която и да е степен е винаги 1. Оттам следва, че b, does not equal, 1.

Специални логаритми

Докато основата на един логаритъм може да има много различни стойности, има две основи, които се използват по-често от другите.
По-специално, повечето калкулатори имат бутони само за тези два вида логаритми. Нека ги разгледаме.

Десетичен логаритъм

Десетичният логаритъм е логаритъм, чиято основа е 10 ("логаритъм с основа 10").
Когато записваме тези логаритми математически, ние пропускаме основата. Подразбира се, че тя е 10.
log, start base, 10, end base, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, log, left parenthesis, x, right parenthesis Забележка: В САЩ логаритъм от x с основа 10 се записва като "log x", а у нас - като "lg x".

Естествен логаритъм

Естественият логаритъм е логаритъм, чиято основа е числото e ("логаритъм с основа e").
Вместо да записваме основата като e, обозначаваме логаритъма с natural log.
log, start base, e, end base, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, natural log, left parenthesis, x, right parenthesis
Тази таблица обобщава това, което трябва да знаем за тези два вида специални логаритми:
ИмеОсноваОбикновено обозначаванеСпециално обозначаване
Десетичен логаритъм10log, start base, 10, end base, left parenthesis, x, right parenthesislog, left parenthesis, x, right parenthesis
Естествен логаритъмelog, start base, e, end base, left parenthesis, x, right parenthesisnatural log, left parenthesis, x, right parenthesis
Въпреки че начинът на записване е различен, начинът, по който пресмятаме тези логаритми, е абсолютно същият!

Защо изучаваме логаритми?

Както току-що научи, логаритмите са обратното на степените. Ето защо те са полезни за решаването на показателни уравнения.
Например решението на показателното уравнение 2, start superscript, x, end superscript, equals, 5 може да бъде дадено като логаритъм, x, equals, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 5, right parenthesis. Ще научиш как да пресмяташ този логаритмичен израз в следващите уроци.
Логаритмичните изрази и функции също се оказва, че са много интересни сами по-себе си и всъщност са много често срещани в света около нас. Например много физични феномени се измерват с помощта на логаритмични скали.

Какво следва?

Ще учим за свойствата на логаритмите, които ни помагат да преработваме логаритмичните изрази, и за правилото за промяна на основата, което ни помага да пресметнем всеки алгоритъм, който искаме, като използваме калкулатор.