If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

12. клас (България) Общообразователна подготовка и преговор

Курс: 12. клас (България) Общообразователна подготовка и преговор > Раздел 2

Урок 17: Прогресии
Математика
12. клас (България) Общообразователна подготовка и преговор
Задачи за преговор: 8–11 клас ООП
Прогресии
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки

Въведение във формулите за аритметични прогресии

Класна стая на Google
Свикни с основите на явно и рекурентно зададените формули за аритметични прогресии.
Преди да започнеш с този урок се увери, че знаеш основното за аритметичните прогресии и имаш някакъв опит с изчисляване на функции, и дефиниционно множество на функции.

Каква е формулата?

Свикнали сме да изразяваме аритметичните прогресии така:
3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point
Но има и други начини. В този урок ще научим два нови начина за представяне на аритметичните прогресии: рекурентно зададени формули и явно зададени формули. Формулите ни дават инструкции за това как да намерим всеки член от прогресията.
За да са общи, формулите използват n, за да представят кой под ред е члена, и a, left parenthesis, n, right parenthesis, за да представят n, start superscript, start text, negative, т, и, я, end text, end superscript член от редицата. Например тук първите няколко члена на аритметичната прогресия са 3, 5, 7, ...
na, left parenthesis, n, right parenthesis
(Номер на члена)(n, start superscript, start text, negative, т, и, end text, end superscript член)
13
25
37
По-горе споменахме, че тези формули ни дават инструкции за това как да намираме всеки член от прогресията. Сега можем да го перифразираме по следния начин: формулите ни показват, как да намерим a, left parenthesis, n, right parenthesis за всяко възможно n.

Провери знанията си

1) Намери a, left parenthesis, 4, right parenthesis в редицата 3, 5, 7, ...
a, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

2) Каква е стойността на a, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis за произволно число n?
Избери един отговор:

Рекурентни формули на аритметични прогресии

Рекурентно зададените формули ни дават две важни сведения:
  1. Първият член от редицата
  2. Правилото за получаването на всеки член на редицата от члена преди него
Ето рекурентно зададената формула на редицата 3, 5, 7, ... заедно с тълкуване на всяка част.
{a(1)=3←Първият член е три.a(n)=a(n−1)+2←Прибавяме две към предходния член.\begin{cases}a(1) = 3&\leftarrow\gray{\text{Първият член е три.}}\\\\ a(n) = a(n-1)+2&\leftarrow\gray{\text{Прибавяме две към предходния член.}} \end{cases}
За да намерим петия член например, трябва да продължим редицата член по член:
a, left parenthesis, n, right parenthesisequals, a, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis, plus, 2
a, left parenthesis, 1, right parenthesisequals, start color #11accd, 3, end color #11accd
a, left parenthesis, 2, right parenthesisequals, a, left parenthesis, 1, right parenthesis, plus, 2equals, start color #11accd, 3, end color #11accd, plus, 2equals, start color #aa87ff, 5, end color #aa87ff
a, left parenthesis, 3, right parenthesisequals, a, left parenthesis, 2, right parenthesis, plus, 2equals, start color #aa87ff, 5, end color #aa87ff, plus, 2equals, start color #1fab54, 7, end color #1fab54
a, left parenthesis, 4, right parenthesisequals, a, left parenthesis, 3, right parenthesis, plus, 2equals, start color #1fab54, 7, end color #1fab54, plus, 2equals, start color #e07d10, 9, end color #e07d10
a, left parenthesis, 5, right parenthesisequals, a, left parenthesis, 4, right parenthesis, plus, 2equals, start color #e07d10, 9, end color #e07d10, plus, 2equals, 11
Страхотно! Тази формула ни дава същата редица, както описаната с 3, 5, 7, ...

Провери знанията си

Сега е твой ред да намериш членовете на редиците, като използваш рекурентно зададената им формула.
Точно както използвахме a, left parenthesis, n, right parenthesis, за да представим n, start superscript, start text, negative, т, и, я, end text, end superscript член от редицата 3, 5, 7, ..., можем да използваме други букви, за да представим други редици. Например можем да използваме b, left parenthesis, n, right parenthesis, c, left parenthesis, n, right parenthesis или d, left parenthesis, n, right parenthesis.
3) Намери b, left parenthesis, 4, right parenthesis в редицата, дадена от {b(1)=−5b(n)=b(n−1)+9\begin{cases}b(1)=-5\\\\ b(n)=b(n-1)+9 \end{cases}
b, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

3) Намери c, left parenthesis, 3, right parenthesis в редицата, дадена от {c(1)=20c(n)=c(n−1)−17\begin{cases}c(1)=20\\\\ c(n)=c(n-1)-17 \end{cases}
c, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

5) Намери d, left parenthesis, 5, right parenthesis в редицата, дадена от {d(1)=2d(n)=d(n−1)+0,4\begin{cases}d(1)=2\\\\ d(n)=d(n-1)+0{,}4 \end{cases}
d, left parenthesis, 5, right parenthesis, equals
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Явни формули на аритметични прогресии

Ето явна формула за задаване на 3, 5, 7, ...
a, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 3, plus, 2, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis
Тази формула ни позволява просто да въведем номера на члена, който търсим, за да получим неговата стойност.
Например, за да намерим петия член, трябва да заместим n, equals, 5 в явната формула.
a(5)=3+2(5−1)=3+2⋅4=3+8=11\begin{aligned}a(\greenE 5)&=3+2(\greenE 5-1)\\\\ &=3+2\cdot4\\\\ &=3+8\\\\ &=11\end{aligned}
Каква изненада, получихме същия резултат като преди!

Провери знанията си

6) Намери b, left parenthesis, 10, right parenthesis в редицата, дадена с b, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, minus, 5, plus, 9, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
b, left parenthesis, 10, right parenthesis, equals
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

7) Намери c, left parenthesis, 8, right parenthesis в редицата, дадена от c, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 20, minus, 17, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
c, left parenthesis, 8, right parenthesis, equals
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

8) Намери d, left parenthesis, 21, right parenthesis в редицата, дадена от d, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 2, plus, 0, comma, 4, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
d, left parenthesis, 21, right parenthesis, equals
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Редиците са функции

Обърни внимание, че формулите, които използвахме в този урок, действат като функции: Въвеждахме номер на члена n, а формулата ни даваше стойността на този член a, left parenthesis, n, right parenthesis.
В действителност прогресиите са определени като функции. Обаче n не може да бъде всяко реално число. Няма такова нещо като минус петия член или 0,4-тия член на прогресията.
Това означава, че дефиниционното множество на редиците — което е множеството от всички възможни аргументи на функцията — се състои от положителните цели числа.

Забележка за означенията

Означаваме членовете, например четвъртия член, като a, left parenthesis, 4, right parenthesis, но в някои други източници понякога го пишат като a, start subscript, 4, end subscript.
И двата записа могат да бъдат използвани. Ние предпочитаме a, left parenthesis, 4, right parenthesis, защото подчертава, че редиците са функции.

Въпрос за размисъл

9) Коя формула е по-подходяща за по-бързото намиране на 100-тния член на една аритметична прогресия?
Избери един отговор:

Задача с повишена трудност

10) Явно зададената формула на аритметичната прогресия е f, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 3, minus, 4, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
Кой член от редицата е равен на -65?
Член номер
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила
Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.