If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

12. клас (България) Общообразователна подготовка и преговор

Курс: 12. клас (България) Общообразователна подготовка и преговор > Раздел 2

Урок 17: Прогресии
Математика
12. клас (България) Общообразователна подготовка и преговор
Задачи за преговор: 8–11 клас ООП
Прогресии
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки

Явни формули на аритметични прогресии

Класна стая на Google
Научи как да намираш явно зададените формули за аритметични прогресии. Например намери явна формула за задаване на редицата 3, 5, 7,...
Преди да минеш този урок, се погрижи да се запознаеш с Въведение във формулите на аритметичните прогресии.

Как действат явно зададените формули

Ето една явна формула на прогресията 3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point
a, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 3, plus, 2, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis
В тази формула n е произволно число и a, left parenthesis, n, right parenthesis е n, start superscript, start text, и, я, end text, end superscript член.
Тази формула ни дава възможност просто да включим числото в члена, който ни интересува, и да получим стойността на този член.
Например, за да намерим петия член, трябва да заместим n, equals, 5 в явната формула.
a(5)=3+2(5−1)=3+2⋅4=3+8=11\begin{aligned}a(\greenE 5)&=3+2(\greenE 5-1)\\\\ &=3+2\cdot4\\\\ &=3+8\\\\ &=11\end{aligned}
Страхотно! Всъщност това е петият член на 3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point

Провери знанията си

1) Намери b, left parenthesis, 10, right parenthesis в редицата, зададена от b, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, minus, 5, plus, 9, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
b, left parenthesis, 10, right parenthesis, equals
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Записване на явни формули

Разгледай аритметичната прогресия 5, comma, 8, comma, 11, comma, point, point, point Първият член на редицата е start color #0d923f, 5, end color #0d923f и разликата е start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6.
Можем да намерим всеки член в редицата, като намерим първия член start color #0d923f, 5, end color #0d923f и добавим разликата start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6 към него многократно. Провери например следните изчисления на първите няколко члена.
nИзчисляване на n, start superscript, start text, т, и, я, end text, end superscript член
1start color #0d923f, 5, end color #0d923fequals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 0, dot, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 5
2start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 1, dot, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 8
3start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, plus, 3, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 2, dot, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 11
4start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, plus, 3, plus, 3, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 3, dot, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 14
5start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, plus, 3, plus, 3, plus, 3, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 4, dot, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 17
Таблицата показва, че можем да намерим n, start superscript, start text, т, и, я, end text, end superscript член (където n е произволно число), като намерим първия член start color #0d923f, 5, end color #0d923f и прибавим разликата start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6 по n, minus, 1 пъти. Това може да бъде записано като алгебричния израз start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
По принцип това е стандартната явна формула за една аритметична прогресия, чийто първи член е start color #0d923f, A, end color #0d923f и разликата е start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6:
start color #0d923f, A, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis

Провери знанията си

2) Запиши една явна формула за прогресията 2, comma, 9, comma, 16, comma, point, point, point.
d, left parenthesis, n, right parenthesis, equals

3) Запиши една явна формула за прогресията 9, comma, 5, comma, 1, comma, point, point, point.
e, left parenthesis, n, right parenthesis, equals

4) Явната формула на аритметичната прогресия е f, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, minus, 6, plus, 2, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
Кой е първият член на редицата?
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
Каква е разликата?
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Еквивалентни явни формули

Явните формули могат да имат различна форма.
Например всички следващи формули са явни за редицата 3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point
  • 3, plus, 2, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis (това е стандартната формула)
  • 1, plus, 2, n
  • 5, plus, 2, left parenthesis, n, minus, 2, right parenthesis
Макар формулите да изглеждат различно, важното е, че можем да заместим с произволна стойност за n и да получим правилния n, start superscript, start text, т, и, end text, end superscript член (опитай и виж, че и другите формули са верни!).
Различните явни формули, които описват една и съща редица, се наричат еквивалентни формули.

Често срещано погрешно схващане

Една аритметична прогресия може да има различни еквивалентни формули, но е важно да помним, че само стандартният вид ни дава първия член и разликата.
Например редицата 2, comma, 8, comma, 14, comma, point, point, point има като пръв член start color #0d923f, 2, end color #0d923f и разлика start color #ed5fa6, 6, end color #ed5fa6.
Явната формула start color #0d923f, 2, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 6, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis описва редицата, но явната формула start color #0d923f, 2, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 6, end color #ed5fa6, n описва различна редица.
За да приведем формулата 2, plus, 6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis във вид на еквивалентна формула от вида A, plus, B, n, можем да разкрием скобите и да опростим:
=2+6(n−1)=2+6n−6=−4+6n\begin{aligned}&\phantom{=}2+6(n-1)\\\\ &=2+6n-6\\\\ &=-4+6n\end{aligned}
Някои хора може да предпочитат формулата minus, 4, plus, 6, n пред еквивалентната формула 2, plus, 6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis, защото тя е по-кратка. Хубавото при по-дългата формула е, че тя ни дава първия член.

Провери знанията си

5) Намери всички верни явни формули за прогресията 12, comma, 7, comma, 2, comma, point, point, point
Избери всички правилни отговори:

Трудни задачи

6*) Намери 124, start superscript, start text, т, и, я, end text, end superscript член на аритметичната прогресия 199, comma, 196, comma, 193, comma, point, point, point
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

7*) Първият член на аритметичната прогресия е 5, а десетият член е 59.
Каква е разликата на редицата?
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила
Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.