If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Разлагане на квадратни изрази: водещ коефициент = 1

Научи как да разлагаш квадратни изрази като произведение на два линейни бинома. Например x²+5x+6=(x+2)(x+3).

Какво трябва да знаеш за този урок

Разлагането на многочлени е представянето им като произведение от два или повече многочлена. Това е обратното на процеса на умножение на многочлени. Ако искаш да научиш повече за това, виж предишния урок за намиране на общи делители.

Какво ще научиш в този урок

В този урок ще научиш как да разлагаш многочлен от вида x, squared, plus, b, x, plus, c като произведение на два двучлена.

Преговор: Умножение на двучлени

Нека разгледаме израза left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis.
Можем да намерим произведението чрез прилагане на разпределителното свойство няколко пъти.
(x+2)(x+4)=(x+2)(x)+(x+2)(4)=x2+2x+4x+8=x2+6x+8\begin{aligned} \tealD{(x+2)}(x+4)&=\tealD{(x+2)}(x)+\tealD{(x+2)}(4)\\\\ &=x^2+2x+4x+8\\\\ &=x^2+6x+8 \end{aligned}
Следователно имаме, че left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, equals, x, squared, plus, 6, x, plus, 8.
От това виждаме, че x, plus, 2 и x, plus, 4 са множители на x, squared, plus, 6, x, plus, 8, но как ще ги намерим, ако не започнем с тях?

Разлагане на тричлени

Можем да обърнем процеса на умножение на двучлени, показан по-горе, за да разложим тричлена (който е многочлен с 3 члена).
С други думи, ако започнем с многочлена x, squared, plus, 6, x, plus, 8, можем да използваме разлагане, за да го запишем като произведение на два двучлена left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis.
Нека да разгледаме няколко примера, за да видиш как се прави това.

Пример 1: Разлагане на x, squared, plus, 5, x, plus, 6

За да разложим x, squared, plus, start color #e07d10, 5, end color #e07d10, x, plus, start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff, първо трябва да намерим две числа, произведението от които е start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff (постоянно число) и чийто сбор е start color #e07d10, 5, end color #e07d10 (коефициентът x).
Тези две числа са start color #11accd, 2, end color #11accd и start color #1fab54, 3, end color #1fab54, тъй като start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, equals, 6 и start color #11accd, 2, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, equals, 5.
След това можем да добавим всяко едно от тези числа към x, за да оформим двата делителя-двучлени: left parenthesis, x, plus, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis и left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis.
Да обобщим: ние разложихме тричлена както следва:
x, squared, plus, 5, x, plus, 6, equals, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis
Можем да проверим разлагането чрез умножаване на двата двучлена:
(x+2)(x+3)=(x+2)(x)+(x+2)(3)=x2+2x+3x+6=x2+5x+6\begin{aligned}(x+2)(x+3)&=(x+2)(x)+(x+2)(3)\\ \\ &=x^2+2x+3x+6\\ \\ &=x^2+5x+6 \end{aligned}
Произведението на x, plus, 2 и x, plus, 3 наистина е x, squared, plus, 5, x, plus, 6. Нашето разлагане е правилно!

Провери знанията си

1) Разложи x, squared, plus, 7, x, plus, 10.
Избери един отговор:
Избери един отговор:

2) Разложи x, squared, plus, 9, x, plus, 20.

Нека да разгледаме още няколко примера и да видим какво можем да научим от тях.

Пример 2: Разлагане на x, squared, minus, 5, x, plus, 6

За да разложим x, squared, start color #e07d10, minus, 5, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff, нека първо намерим две числа, произведението от които е start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff, и чийто сбор е start color #e07d10, minus, 5, end color #e07d10.
Тези две числа са start color #11accd, minus, 2, end color #11accd и start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, тъй като left parenthesis, start color #11accd, minus, 2, end color #11accd, right parenthesis, dot, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, 6 и left parenthesis, start color #11accd, minus, 2, end color #11accd, right parenthesis, plus, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, minus, 5.
След това можем да добавим всяко едно от тези числа към x, за да оформим двата двучленни делителя: left parenthesis, x, plus, left parenthesis, start color #11accd, minus, 2, end color #11accd, right parenthesis, right parenthesis и left parenthesis, x, plus, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, right parenthesis.
Разлагането е дадено по-долу:
x25x+6=(x+(2))(x+(3))=(x2)(x3)\begin{aligned}x^2-5x+6&=(x+(\blueD{-2}))(x+(\greenD{-3}))\\ \\ &=(x\blueD{-2})(x\greenD{-3}) \end{aligned}
Начин на разлагане: Обърни внимание, че и двете числа, необходими за разлагането на x, squared, minus, 5, x, plus, 6 са отрицателни left parenthesis, minus, 2 и minus, 3, right parenthesis. Това е така, защото тяхното произведение трябва да бъде положително left parenthesis, 6, right parenthesis, а техният сбор трябва да бъде отрицателен left parenthesis, minus, 5, right parenthesis.
По принцип, когато разлагаме x, squared, plus, b, x, plus, c, ако c е положително и b е отрицателно, то и двата делителя ще бъдат отрицателни!

Пример 3: Разлагане на x, squared, minus, x, minus, 6

Можем да запишем x, squared, minus, x, minus, 6 като x, squared, minus, 1, x, minus, 6.
За да разложим x, squared, start color #e07d10, minus, 1, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, minus, 6, end color #aa87ff, нека първо намерим две числа, които като се умножат, дават start color #aa87ff, minus, 6, end color #aa87ff, и като се сумират, дават start color #e07d10, minus, 1, end color #e07d10.
Тези две числа са start color #11accd, 2, end color #11accd и start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, тъй като left parenthesis, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis, dot, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, minus, 6 и start color #11accd, 2, end color #11accd, plus, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, minus, 1.
След това можем да добавим всяко едно от тези числа към x, за да оформим двата двучленни делителя: left parenthesis, x, plus, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis и left parenthesis, x, plus, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, right parenthesis.
Разлагането е дадено по-долу:
x2x6=(x+2)(x+(3))=(x+2)(x3)\begin{aligned}x^2-x-6&=(x+\blueD2)(x+(\greenD{-3}))\\ \\ &=(x+\blueD2)(x\greenD{-3}) \end{aligned}
Начини на разлагане: Обърни внимание, че за да разложим x, squared, minus, x, minus, 6, имаме нужда от едно положително число left parenthesis, 2, right parenthesis и едно отрицателно число left parenthesis, minus, 3, right parenthesis. Това е така, защото тяхното произведение трябва да бъде отрицателно left parenthesis, minus, 6, right parenthesis.
По принцип, когато разлагаме x, squared, plus, b, x, plus, c, ако c е отрицателно, тогава единият делител ще бъде положителен, а другият - отрицателен.

Обобщение

По принцип, за да разложим един тричлен от вида x, squared, plus, start color #e07d10, b, end color #e07d10, x, plus, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, трябва да намерим делителите на start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, чийто сбор е start color #e07d10, b, end color #e07d10.
Да предположим, че тези две числа са m и n, така че c, equals, m, n и b, equals, m, plus, n, тогава x, squared, plus, b, x, plus, c, equals, left parenthesis, x, plus, m, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, n, right parenthesis.

Провери знанията си

3) Разложи x, squared, minus, 8, x, minus, 9.

4) Разложи x, squared, minus, 10, x, plus, 24.

5) Разложи x, squared, plus, 7, x, minus, 30.

Защо това върши работа?

За да разберем защо този метод на разлагане действа, нека да се върнем към първоначалния пример, в който разложихме x, squared, plus, 5, x, plus, 6 като left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis.
Ако се върнем и умножим двата двучленни множителя, можем да видим какво влияние оказват start color #11accd, 2, end color #11accd и start color #1fab54, 3, end color #1fab54 върху оформянето на произведението x, squared, plus, 5, x, plus, 6.
(x+2)(x+3)=(x+2)(x)+(x+2)(3)=x2+2x+3x+23=x2+(2+3)x+23\begin{aligned}(x+\blueD 2)(x+\greenD3)&={(x+\blueD2)}(x)+(x+\blueD 2)(\greenD{3})\\ \\ &=x^2+\blueD2x+\greenD3x+\blueD2\cdot \greenD3\\ \\ &=x^2+(\blueD 2+\greenD 3)x+\blueD2\cdot \greenD3 \end{aligned}
Виждаме, че коефициентът на члена x е сумата от start color #11accd, 2, end color #11accd и start color #1fab54, 3, end color #1fab54 и константният член е произведение на start color #11accd, 2, end color #11accd и start color #1fab54, 3, end color #1fab54.

Метод на разлагане чрез произведение на сборове

Нека да повторим това, което току-що направихме с left parenthesis, x, plus, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis за left parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis:
(x+m)(x+n)=(x+m)(x)+(x+m)(n)=x2+mx+nx+mn=x2+(m+n)x+mn\begin{aligned}(x+\blueD m)(x+\greenD n)&={(x+\blueD m)}(x)+(x+\blueD m)(\greenD{n})\\ \\ &=x^2+\blueD mx+\greenD nx+\blueD m\cdot \greenD n\\ \\ &=x^2+(\blueD m+\greenD n)x+\blueD m\cdot \greenD n \end{aligned}
За да обобщим този процес, получаваме следното уравнение:
left parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis, equals, x, squared, plus, left parenthesis, start color #11accd, m, end color #11accd, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, dot, start color #1fab54, n, end color #1fab54
Това се нарича метод на разлагане чрез произведение на сборове.
Това показва защо щом изразим тричлена x, squared, plus, start color #e07d10, b, end color #e07d10, x, plus, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff като x, squared, plus, left parenthesis, start color #11accd, m, end color #11accd, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, dot, start color #1fab54, n, end color #1fab54 (чрез намиране на двете числа start color #11accd, m, end color #11accd и start color #1fab54, n, end color #1fab54, така че start color #e07d10, b, end color #e07d10, equals, start color #11accd, m, end color #11accd, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54 и start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, equals, start color #11accd, m, end color #11accd, dot, start color #1fab54, n, end color #1fab54), можем да разложим този тричлен като left parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis.

Въпрос за размисъл

6) Може ли този метод да се използва за разлагането на 2, x, squared, plus, 3, x, plus, 1?
Избери един отговор:
Избери един отговор:

Кога можем да използваме този метод, за да разлагаме?

По принцип методът на разлагане чрез произведение на сборове е приложим само тогава, когато можем да представим тричлена като left parenthesis, x, plus, m, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, n, right parenthesis за някои цели числа m и n.
Това означава, че водещият член на тричлена трябва да бъде x, squared (а не например 2, x, squared), за да може изобщо да се помисли за този метод. Това е така, защото произведението на left parenthesis, x, plus, m, right parenthesis и left parenthesis, x, plus, n, right parenthesis винаги ще бъде полином с водещ член x, squared.
Но не всички тричлени с x, squared като водещ член могат да бъдат разложени. Например x, squared, plus, 2, x, plus, 2 не може да бъде разложен, защото няма две цели числа, чиято сума е 2 и чието произведение е 2.
В бъдещи уроци ще научим повече начини за разлагане на повече видове многочлени.

Задачи с повишена трудност

7*) Разложи x, squared, plus, 5, x, y, plus, 6, y, squared.

8*) Разложи x, start superscript, 4, end superscript, minus, 5, x, squared, plus, 6.