If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако използваш уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Положителни и отрицателни интервали на полиноми

Научи за връзката между нулите на полиномите и интервалите, в рамките на които, те са положителни или отрицателни.

Какво трябва да знаеш, преди да започнеш този урок

Нулите на полинома f отговарят на пресечните точки на графиката на y=f(x) и оста x.
Дадено е f(x)=(x+3)(x1)2. Тъй като нулите на функцията f са 3 и 1, графиката на y=f(x) ще пресича оста x в точките (3;0) и (1;0).
Ако това е ново за теб, препоръчваме да погледнеш нашата статия за нули на полиноми.

Какво ще научиш в този урок

Макар пресечните точки с оста x да са важна характеристика на графиката на една функция, имаме нужда от повече, за да направим добър чертеж.
Да знаем знака на една полиномна функция между две нули може да ни помогне да запълним някои пропуски.
В тази статия ще научим как да определим интервалите, в които един полином е положителен или отрицателен, и как да свържем това с графиката.

Интервали с положителни и отрицателни стойности на функцията

Знакът на един полином между всеки две последователни нули е или винаги положителен, или винаги отрицателен.
Например помисли върху графиката на функцията f(x)=(x+1)(x1)(x3).
От графиката виждаме, че f(x) е винаги...
  • ...отрицателна, когато <x<1.
  • ...положителна, когато 1<x<1.
  • ...отрицателна, когато 1<x<3.
  • ...положителна, когато 3<x<.
Не е задължително една полиномна функция да променя знака си между нулите.
Например, разгледай графиката на функцията g(x)=x(x+2)2.
От графиката виждаме, че g(x) е винаги...
  • ...отрицателна, когато <x<2.
  • ...отрицателна, когато 2<x<0.
  • ...положителна, когато 0<x<.
Забележи, че g(x) не променя знака си около x=2.

Определяне на интервалите, в които стойностите на полинома са положителни или отрицателни

Нека намерим интервалите, в които полиномът f(x)=(x+3)(x1)2 е положителен, и интервалите, в които е отрицателен.
Нулите на f са 3 и 1. Това създава три интервала, в които знакът на f не се променя:
Нека намерим знака на f в интервала <x<3.
Знаем, че f ще е или винаги положителна, или винаги отрицателна в този интервал. Можем да определим кое от двете е като пресметнем f за една стойност в този интервал. След като 4 е в този интервал, нека намерим f(4).
Понеже ни интересува само знака на полинома, не е нужно напълно да го изчисляваме:
f(x)=(x+3)(x1)2f(4)=(4+3)(41)2=()()2Определяме само знака на отговора.=()(+)Минус на квадрат дава плюс.=Минус по плюс дава минус.
Тук виждаме, че f(4) е отрицателно, така че f(x) винаги ще бъде отрицателна в интервала <x<3.
Можем да повторим процеса за останалите интервали.
Резултатите са обобщени в таблицата по-долу.
ИнтервалСтойността на конкретна стойност на f(x) в интервалаЗнак на f в интервалаВръзка с графиката на f
<x<3f(4)<0отрицателенПод x-оста
3<x<1f(0)>положителенНад x-оста1<x<f(2)>0положителенНад x-оста
Това съответства на графиката на y=f(x).

Провери знанията си

1) g(x)=(x+1)2(x+6) има нули за x=6 и x=1.
Какъв е знакът на функцията g в интервала 6<x<1?
Избери един отговор:

2) h(x)=(3x)(x+5)(x2) има нули в x=5, x=2 и x=3.
Какъв е знакът на функцията h(x) в интервала 5<x<2?
Избери един отговор:

Задача с повишена трудност

3*) Кое от следните може да бъде графиката на g(x)=(x2)2(x+1)3?
Избери един отговор:

Определяне на интервалите с положителни и отрицателни стойности от скицираната графика

Друг начин да определим интервалите, в които един полином е положителен или отрицателен, е да начертаем графиката му и да разгледаме поведението в краищата на интервала и кратността на нулите му.
Виж статията за графики на полиноми за допълнителна информация.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.