Основно съдържание

12. клас (България) Общообразователна подготовка и преговор

Курс: 12. клас (България) Общообразователна подготовка и преговор > Раздел 2

Урок 15: Тригонометрични функции

Реципрочни тригонометрични отношения

Класна стая на Google

Научи как косеканс, секанс и котангенс са реципрочни на основните тригонометрични отношения: синус, косинус и тангенс.

Вече научихме основните тригонометрични отношения:

Но има още три отношения, за които трябва да мислим:

Вместо $\frac{a}{c}$ ‍, можем да разгледаме $\frac{c}{a}$ ‍.
Вместо $\frac{b}{c}$ ‍, можем да разгледаме $\frac{c}{b}$ ‍.
Вместо $\frac{a}{b}$ ‍, можем да разгледаме $\frac{b}{a}$ ‍.

Тези нови съотношения са реципрочните тригонометрични съотношения, а ние започваме да учим техните имена.

Косекансът $(cosec)$ ‍

Косеканс е реципрочното на синус. Това е отношението на хипотенузата към страната, разположена срещу даден ъгъл в един правоъгълен триъгълник.

\sin (A) = \frac{срещулежащ катет}{хипотенуза} = \frac{a}{c}

cosec (A) = \frac{хипотенуза}{срещулежащ катет} = \frac{c}{a}

Секансът $(\sec)$ ‍

Секанс е реципрочното на косинус. Това е отношението на хипотенузата към страната, прилежаща към даден ъгъл в един правоъгълен триъгълник.

\cos (A) = \frac{прилежащ катет}{хипотенуза} = \frac{b}{c}

\sec (A) = \frac{хипотенуза}{прилежащ катет} = \frac{c}{b}

Котангенсът $(ctg)$ ‍

Котагнгенсът е реципрочното на тангенс. Това е отношението на прилежащия катет към срещулежащия катет в правоъгълния триъгълник.

tg (A) = \frac{срещулежащ катет}{прилежащ катет} = \frac{a}{b}

ctg (A) = \frac{прилежащ катет}{срещулежащ катет} = \frac{b}{a}

Как хората помнят тези неща?

За повечето хора най-лесният начин да запомнят тези нови отношения е като ги свържат с техните реципрочни. Тези зависимости са обобщени в таблицата по-долу.

	Словесно описание	Математическа зависимост
Косеканс	Косеканс е реципрочното на синус.	$cosec (A) = \frac{1}{\sin (A)}$ ‍
Секанс	Секанс е реципрочното на косинус.	$\sec (A) = \frac{1}{\cos (A)}$ ‍
Котангенс	Котангенс е реципрочното на тангенс.	$ctg (A) = \frac{1}{tg (A)}$ ‍

Намиране на реципрочните тригонометрични съотношения

Нека разучим един пример.

В дадения по-долу триъгълник намери

cosec (C)

\sec (C)

ctg (C)

Решение

Намиране на косеканс

Знаем, че косеканс е реципрочното на синус.

Тъй като синус е отношението на срещулежащия катет към хипотенузата, косеканс е отношението на хипотенузата към срещулежащия катет.

\begin{aligned} cosec (C) & = \frac{хипотенуза}{срещулежащ катет} \\ = \frac{17}{15} \end{aligned}

Намиране на секанс

Знаем, че секанс е реципрочното на косинус.

Тъй като косинус е отношението на прилежащия катет към хипотенузата, секанс е отношението на хипотенузата към прилежащия катет.

\begin{aligned} \sec (C) & = \frac{хипотенуза}{прилежащ катет} \\ = \frac{17}{8} \end{aligned}

Намиране на котангенс

Знаем, че котангенс е реципрочното на тангенс.

Тъй като тангенс е отношението на срещулежащия катет към прилежащия, котангенс е отношението на прилежащия катет към срещулежащия.

\begin{aligned} ctg (C) & = \frac{прилежащ катет}{срещулежащ катет} \\ = \frac{8}{15} \end{aligned}

[Бих искал да видя повече примери, моля.]

Опитай сам!

Задача 1

cosec (X) =

Задача 2

\sec (W) =

Задача 3

ctg (R) =

Задача с повишена трудност

Изчисли точната стойност на $cosec (45^{\circ})$ ‍.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.