Условна вероятност и независимост

Когато изчисляваме вероятности, казваме, че две събития са независими, ако знаем, че ако едното събитие се случи, това не променя вероятността за другото събитие.

Например вероятността една справедлива монета да показва "ези", след като е била хвърлена, е $1/2$‍. А какво ще стане, ако знаехме, че денят е бил вторник? Това променя ли вероятността да получим "ези"? Разбира се, че не. Вероятността да получим "ези", при положение че е вторник, все още е $1/2$‍. Тоест резултатът от хвърлянето на монета и денят да е вторник са независими събития; ако знаем, че е било вторник, това не променя вероятността да получим "ези".

Не всяка ситуация е толкова очевидна. А какво да кажем за пола и с коя ръка пише човек (лява или дясна)? Може да изглежда, че полът на човека и това дали е левичар, или десничар, са напълно независими събития. Но когато разгледаме вероятностите, виждаме, че около $10\mathrm{\%}$‍ от всички хора са левичари, но около $12\mathrm{\%}$‍ от мъжете са левичари. Така че тези събития не са независими, тъй като ако знаем, че един случаен човек е мъж, това увеличава вероятността той да е левичар.

Голямата идея е, че проверяваме за независимост с вероятности.

Два събития А и В са независими, ако $P(\text{A }|\text{ B})=P(\text{A})$‍ и $P(\text{B }|\text{ A})=P(\text{B})$‍.

Изследователи анкетирали завършилите два различни университета относно годишните им доходи. Следната таблица с две променливи (кростаблица) показва данните за $300$‍-те завършили, които са отговорили на анкетата.

Да предположим, че изберем случаен випускник от тези данни.

Нека проверим това, като използваме условна вероятност.

Това са същите данни от предишния пример:

Да предположим, че изберем случаен випускник от тези данни.

Нека проверим това, като използваме условна вероятност.

Когато проверяваме за независимост в множества данни в реалния свят, рядко ще получим перфектно равни вероятности. Почти всички реални събития, които не включват игри на късмета, са зависими до някаква степен.

В практиката често ще приемаме, че събитията са независими и ще изпробваме това предположение върху данни от извадка. Ако вероятностите са значително различни, тогава ще заключим, че събитията не са независими. Ще научим повече за този процес в дедуктивната статистика.

Последно, внимавай да не правиш заключения за причина и следствие, освен ако данните не идват от добре проведен експеримент. За предизвикателство, можеш ли да се сетиш за някои външни променливи – освен университетите – които може да са причината за разликата в дохода между випускниците от двата университета в Пример 2?